Calcule as integrais utilizando frações parciais: integral 2(x-1)^2(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular integral 2(x-1)^2(x+2) , dx. Esse tipo de problema está na área do cálculo integral, mais especificamente usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a fração 2(x-1)^2(x+2) como uma soma de frações mais simples. Como temos fatores lineares e um fator ao quadrado no denominador, vamos assumir a forma:
2(x-1)^2(x+2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+2
Aqui, A, B e C são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x+2):
2 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)^2
Expandindo os termos:
2 = A(x^2 + x - 2) + Bx + 2B + C(x^2 - 2x + 1)
Agrupando os termos semelhantes:
2 = (A + C)x^2 + (A + B - 2C)x + (-2A + 2B + C)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + C = 0 A + B - 2C = 0 -2A + 2B + C = 2

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
A = -C
Substituímos A na segunda equação:
- C + B - 2C = 0 Rightarrow B - 3C = 0 Rightarrow B = 3C
Agora, substituímos A = -C e B = 3C na terceira equação:
-2(-C) + 2(3C) + C = 2 2C + 6C + C = 2 9C = 2 C = 29
Então:
A = -29 B = 3 times 29 = 23

Passo 5

Agora que encontramos A, B e C, podemos escrever a fração original decomposta:
2(x-1)^2(x+2) = -29x-1 + 23(x-1)^2 + 29x+2
Vamos simplificar:
2(x-1)^2(x+2) = -29 cdot 1x-1 + 23 cdot 1(x-1)^2 + 29 cdot 1x+2

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2(x-1)^2(x+2) , dx = -29 integral 1x-1 , dx + 23 integral 1(x-1)^2 , dx + 29 integral 1x+2 , dx
Calculando as integrais:
- 29 ln|x-1| + 23 ( -1x-1 ) + 29 ln|x+2| + C
Simplificando:
- 29 ln|x-1| - 23(x-1) + 29 ln|x+2| + C

Resposta

A integral é igual a
- 29 ln|x-1| - 23(x-1) + 29 ln|x+2| + C
onde C é a constante de integração.

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