Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular . Esse tipo de problema está na área do cálculo integral, mais especificamente usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Como temos fatores lineares e um fator ao quadrado no denominador, vamos assumir a forma:
Aqui, , e são constantes que vamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por :
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Então:
Passo 5
Agora que encontramos , e , podemos escrever a fração original decomposta: