Calcule as integrais utilizando frações parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular . Esse tipo de problema está na área do cálculo integral, mais especificamente usando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração racional em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Como temos fatores lineares e um fator ao quadrado no denominador, vamos assumir a forma:
Aqui, , e são constantes que vamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por :
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos e na terceira equação:
Então:

Passo 5

Agora que encontramos , e , podemos escrever a fração original decomposta:
Vamos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando as integrais:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .