Calcule as integrais utilizando integrais por partes: integral0^pi2 e^x cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de até da função . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Vamos escolher quais partes da função derivar e quais integrar para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Agora, vamos escolher:
u = e^x e dv = cos x , dx
Com isso, precisamos encontrar du = e^x , dx (derivando (u)) e v = integral cos x , dx = sin x (integrando (dv)) :

Passo 3

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral e^x cos x , dx = e^x sin x - integral sin x cdot e^x , dx
Agora, ficamos com uma nova integral: . Vamos precisar resolver essa integral também, usando integração por partes de novo.

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes na nova integral u = e^x e dv = sin x , dx . Escolhemos novamente:
du = e^x , dx
Calculando v = integral sin x , dx = -cos x e :

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x - integral (-cos x) cdot e^x , dx
Simplificando:
integral e^x sin x , dx = -e^x cos x + integral e^x cos x , dx
Agora, vamos chamar a integral original de I = integral e^x cos x , dx = e^x sin x - ( -e^x cos x + I ) :
I = e^x sin x + e^x cos x - I
Resolvendo para 2I = e^x (sin x + cos x) :
I = e^x (sin x + cos x)2

Resposta

Agora, vamos calcular a integral definida de integral0^pi2 e^x cos x , dx = [ e^x (sin x + cos x)2 ]0^pi2 a = e^pi2 (sin pi2 + cos pi2)2 - e^0 (sin 0 + cos 0)2 :
= e^pi2 (1 + 0)2 - 1 (0 + 1)2
Substituindo os limites:
= e^pi22 - 12
= e^pi2 - 12
e^pi2 - 12
Então, a integral vale:

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