Calcule as integrais utilizando integrais por partes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral definida de até da função . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica para integrar o produto de duas funções. Vamos escolher quais partes da função derivar e quais integrar para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Agora, vamos escolher:
Com isso, precisamos encontrar e :

Passo 3

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Agora, ficamos com uma nova integral: . Vamos precisar resolver essa integral também, usando integração por partes de novo.

Passo 4

Vamos aplicar integração por partes na nova integral . Escolhemos novamente:
Calculando e :

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Agora, vamos chamar a integral original de :
Resolvendo para :

Resposta

Agora, vamos calcular a integral definida de a :
Substituindo os limites:
Então, a integral vale:

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