Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área abaixo do gráfico da função no intervalo de até . Vamos usar cálculo integral para encontrar essa área. Precisaremos entender como integrar funções lineares e considerar as partes onde a função pode estar acima ou abaixo do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função cruza o eixo . Para isso, igualamos a zero:
Isso significa que a função cruza o eixo no ponto . Então, nosso intervalo de a será dividido em duas partes: de a e de a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de de a . Nesse intervalo, a função está abaixo do eixo , então a área será negativa. Para obter a área positiva, vamos considerar o valor absoluto:

Passo 4

Vamos resolver a integral :
Calculando os valores nos limites:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de de a , onde a função está acima do eixo :
Calculando os valores nos limites:

Passo 6

Finalmente, somamos as duas áreas encontradas para obter a área total abaixo do gráfico da função no intervalo dado:

Resposta

A área abaixo do gráfico da função no intervalo de a é igual a 5 unidades de área.

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Calcule, se possível, as integrais impróprias:
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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. Entre e , abaixo de .
Encontre o valor médio das funções no intervalo dado. .