Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. Isso significa que precisamos trabalhar com integrais que podem ter algum problema, como um ponto onde a função não está bem definida. Aqui, o problema está em
porque
não está definido para
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral e entender como lidar com limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o ponto problemático
. Fazemos isso substituindo o limite inferior por um valor
que tende a 0:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
-
(então ) -
(então )
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:
Passo 5
Calculando a integral restante:
Então, a expressão completa fica:
Passo 6
Voltando ao limite que definimos:
Calculando em
:
Calculando em
:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a 0 e
também tende a 0.
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é
.
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Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região. Entre
e
, abaixo de
.