Calcule, se possível, as integrais impróprias:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria . Isso significa que precisamos trabalhar com integrais que podem ter algum problema, como um ponto onde a função não está bem definida. Aqui, o problema está em porque não está definido para . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral e entender como lidar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o ponto problemático . Fazemos isso substituindo o limite inferior por um valor que tende a 0:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (então )
  • (então )

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 5

Calculando a integral restante:
Então, a expressão completa fica:

Passo 6

Voltando ao limite que definimos:
Calculando em :
Calculando em :
À medida que se aproxima de 0, tende a 0 e também tende a 0.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .
Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a ou a . Calcule a área da região. Entre e , abaixo de .