Calcule, se possível, as integrais impróprias: integral0^2 z^2 ln z d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria . Isso significa que precisamos trabalhar com integrais que podem ter algum problema, como um ponto onde a função não está bem definida. Aqui, o problema está em porque não está definido para . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral e entender como lidar com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o ponto problemático integral0^2 z^2 ln z , dz = lima to 0^+ integrala^2 z^2 ln z , dz . Fazemos isso substituindo o limite inferior por um valor que tende a 0:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (então )
  • (então )

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral z^2 ln z , dz = z^33 ln z - integral z^33 cdot 1z dz
Simplificando a segunda integral:
= z^33 ln z - 13 integral z^2 dz

Passo 5

Calculando a integral restante:
13 integral z^2 dz = 13 cdot z^33 = z^39
Então, a expressão completa fica:
integral z^2 ln z , dz = z^33 ln z - z^39 + C

Passo 6

Voltando ao limite que definimos:
lima to 0^+ [ z^33 ln z - z^39 ]a^2
Calculando em 2^33 ln 2 - 2^39 = 83 ln 2 - 89 :
a^33 ln a - a^39
Calculando em :
À medida que se aproxima de 0, tende a 0 e também tende a 0.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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