Encontre o valor médio das funções no intervalo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função
no intervalo de
. Isso envolve cálculos de cálculo integral, especificamente usando a fórmula do valor médio para funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do valor médio de uma função
no intervalo
:
Nesse caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
.
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso nos ajuda a substituir
na integral.
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, é mais fácil integrar.
Passo 7
Integrando
:
Agora, voltamos à variável original
.
Passo 8
Substituindo
:
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 2.
Passo 9
Calculando a integral definida:
Sabemos que
.
Passo 10
Substituindo:
Então, a integral vale
.
Passo 11
Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo de
é
ou aproximadamente 2,89.
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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região. Entre
e
, abaixo de
.
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado.
.
Calcule as integrais utilizando integrais trigonométricas:
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