Encontre o valor médio das funções no intervalo dado. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função no intervalo de . Isso envolve cálculos de cálculo integral, especificamente usando a fórmula do valor médio para funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do valor médio de uma função no intervalo :
é
Nesse caso, , e .

Passo 3

Vamos substituir esses valores na fórmula:
é

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar .

Passo 5

Calculando a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na integral.

Passo 6

Substituindo na integral:
Agora, é mais fácil integrar.

Passo 7

Integrando :
Agora, voltamos à variável original .

Passo 8

Substituindo :
Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 2.

Passo 9

Calculando a integral definida:
Sabemos que .

Passo 10

Substituindo:
Então, a integral vale .

Passo 11

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo de é ou aproximadamente 2,89.

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