Calcule, se possível, as integrais impróprias:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais impróprias. A integral que vamos resolver é . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias, especialmente aquelas que têm pontos onde a função não é definida ou tem comportamento infinito. A gente vai verificar se a integral é própria ou imprópria e, se for imprópria, vamos calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a integral é própria ou imprópria. A função pode ter problemas onde o denominador se anula ou a função fica indefinida. Aqui, quando , temos , o que é indefinido porque não podemos dividir por zero.
Além disso, estamos integrando de a . Vamos ver se o ponto está dentro desse intervalo. Como , a função tem um ponto de descontinuidade no meio do intervalo, o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para calcular essa integral imprópria, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes, separando o ponto problemático . Assim, podemos escrever:
Cada uma dessas integrais agora terá um limite que se aproxima de , onde a função é indefinida.

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte da integral:
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar , então . Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando , temos:
Aplicando os limites:
Quando , , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
Novamente, fazemos , . Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando , temos:
Aplicando os limites:
Quando , , então:
Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule as integrais utilizando substituições trigonométricas:
Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Calcule a área abaixo do gráfico das funções, no intervalo determinado. .