Calcule, se possível, as integrais impróprias:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais impróprias. A integral que vamos resolver é
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias, especialmente aquelas que têm pontos onde a função não é definida ou tem comportamento infinito. A gente vai verificar se a integral é própria ou imprópria e, se for imprópria, vamos calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a integral é própria ou imprópria. A função
pode ter problemas onde o denominador se anula ou a função fica indefinida. Aqui, quando
, temos
, o que é indefinido porque não podemos dividir por zero.
Além disso, estamos integrando de
a
. Vamos ver se o ponto
está dentro desse intervalo. Como
, a função tem um ponto de descontinuidade no meio do intervalo, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Para calcular essa integral imprópria, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes, separando o ponto problemático
. Assim, podemos escrever:
Cada uma dessas integrais agora terá um limite que se aproxima de
, onde a função é indefinida.
Passo 4
Vamos calcular a primeira parte da integral:
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
, então
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Integrando
, temos:
Aplicando os limites:
Quando
,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
Novamente, fazemos
,
. Quando
,
e quando
,
.
A integral fica:
Integrando
, temos:
Aplicando os limites:
Quando
,
, então:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
Somando as duas partes da integral, temos:
Portanto, a integral imprópria
converge e seu valor é
.
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.