Calcule, se possível, as integrais impróprias: integral0^33(x-1)^-15 d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de integrais impróprias. A integral que vamos resolver é integral0^33(x-1)^-15 dx. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais impróprias, especialmente aquelas que têm pontos onde a função não é definida ou tem comportamento infinito. A gente vai verificar se a integral é própria ou imprópria e, se for imprópria, vamos calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a integral é própria ou imprópria. A função (x-1)^-15 pode ter problemas onde o denominador se anula ou a função fica indefinida. Aqui, quando x = 1, temos (1-1)^-15 = 0^-15, o que é indefinido porque não podemos dividir por zero.
Além disso, estamos integrando de x = 0 a x = 33. Vamos ver se o ponto x = 1 está dentro desse intervalo. Como 0 < 1 < 33, a função tem um ponto de descontinuidade no meio do intervalo, o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Para calcular essa integral imprópria, vamos dividir o intervalo de integração em duas partes, separando o ponto problemático x = 1. Assim, podemos escrever:
integral0^33(x-1)^-15 dx = integral0^1(x-1)^-15 dx + integral1^33(x-1)^-15 dx
Cada uma dessas integrais agora terá um limite que se aproxima de x = 1, onde a função é indefinida.

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte da integral:
lima to 1^- integral0^a(x-1)^-15 dx
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = x - 1, então du = dx. Quando x = 0, u = -1 e quando x = a, u = a - 1.
A integral fica:
lima to 1^- integral-1^a-1 u^-15 du
Integrando u^-15, temos:
u^4545 = 54 u^45
Aplicando os limites:
54 [ (a-1)^45 - (-1)^45 ]
Quando a to 1^-, (a-1)^45 to 0, então:
54 [ 0 - (-1)^45 ] = 54 [ -1 ] = -54

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral:
limb to 1^+ integralb^33(x-1)^-15 dx
Novamente, fazemos u = x - 1, du = dx. Quando x = b, u = b - 1 e quando x = 33, u = 32.
A integral fica:
limb to 1^+ integralb-1^32 u^-15 du
Integrando u^-15, temos:
u^4545 = 54 u^45
Aplicando os limites:
54 [ 32^45 - (b-1)^45 ]
Quando b to 1^+, (b-1)^45 to 0, então:
54 [ 32^45 - 0 ] = 54 cdot 32^45
Sabemos que 32 = 2^5, então:
32^45 = (2^5)^45 = 2^4 = 16
Portanto:
54 cdot 16 = 20

Resposta

Somando as duas partes da integral, temos:
-54 + 20 = -5 + 804 = 754 = 18,!75
Portanto, a integral imprópria integral0^33(x-1)^-15 dx converge e seu valor é 18,!75.

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