Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Calcule a área da região. Entre 3 x^2 e 8 x^2, abaixo de 4x + y = 4.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas dadas, decidir se vamos integrar em relação a ou , e depois calcular a área dessa região. As curvas envolvidas são , e a reta . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a área entre curvas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. As funções e são parábolas que abrem para cima, com a segunda crescendo mais rapidamente devido ao coeficiente maior de . A reta pode ser reescrita como , que é uma reta decrescente. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos calcular.

Passo 3

Agora, precisamos decidir se vamos integrar em relação a ou a . Para isso, vamos olhar como as curvas se intersectam e qual variável torna a integração mais simples. Geralmente, escolhemos a variável que facilita encontrar os limites de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar isso.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde e se intersectam com a reta .
Primeiro, igualamos :
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são:
Fazemos o mesmo para :
Usando Bhaskara novamente:
Então, os valores de são:

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, podemos ver que a região está limitada entre e . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a função superior e a função inferior.
Primeiro, precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo.
Entre e :
  • A reta está acima das parábolas.
Entre e :
  • A parábola está acima da reta.
Entre e :
  • A parábola está acima da reta.
Então, dividimos a integral em três partes:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Para de -2 a -1:
Integrando termo a termo:
Avaliado de -2 a -1:
  1. Para de -1 a 0,5:
Integrando:
Avaliado de -1 a 0.5:
  1. Para de 0.5 a 0.6667:
Integrando:
Avaliado de 0.5 a 0.6667:

Resposta

Somando as três áreas calculadas:
Á
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

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