Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a
ou a
. Calcule a área da região. Entre
e
, abaixo de
.
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas dadas, decidir se vamos integrar em relação a
ou
, e depois calcular a área dessa região. As curvas envolvidas são
,
e a reta
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a área entre curvas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas curvas se comportam no gráfico. As funções
e
são parábolas que abrem para cima, com a segunda crescendo mais rapidamente devido ao coeficiente maior de
. A reta
pode ser reescrita como
, que é uma reta decrescente. Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos calcular.
Passo 3
Agora, precisamos decidir se vamos integrar em relação a
ou a
. Para isso, vamos olhar como as curvas se intersectam e qual variável torna a integração mais simples. Geralmente, escolhemos a variável que facilita encontrar os limites de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar isso.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde
e
se intersectam com a reta
.
Primeiro, igualamos
:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de
são:
Fazemos o mesmo para
:
Usando Bhaskara novamente:
Então, os valores de
são:
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, podemos ver que a região está limitada entre
e
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a função superior e a função inferior.
Primeiro, precisamos identificar qual função está por cima em cada intervalo.
Entre
e
:
- A reta
está acima das parábolas.
Entre
e
:
- A parábola
está acima da reta.
Entre
e
:
- A parábola
está acima da reta.
Então, dividimos a integral em três partes:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Para
de -2 a -1:
Integrando termo a termo:
Avaliado de -2 a -1:
- Para
de -1 a 0,5:
Integrando:
Avaliado de -1 a 0.5:
- Para
de 0.5 a 0.6667:
Integrando:
Avaliado de 0.5 a 0.6667:
Resposta
Somando as três áreas calculadas:
Como a área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto: