Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso:
A) um prisma quadrangular regular com aresta da base 10cm e aresta lateral 12cm
B) Um prisma triangular regular com aresta da base 8cm e aresta lateral 10cm
C) Um prisma hexagonal regular com aresta da base 12cm e aresta lateral 8cm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular a área da base, a área lateral, a área total e o volume de três tipos diferentes de prismas: quadrangular, triangular e hexagonal. Para isso, vamos usar fórmulas de geometria relacionadas a prismas regulares. Vamos analisar cada caso um por um.

Passo 2

Parte A: Prisma Quadrangular Regular

Primeiro, vamos calcular as propriedades do prisma quadrangular regular.
Dados:
  • Aresta da base ( a) = 10 cm
  • Aresta lateral ( h) = 12 cm
Teoria:
Para um prisma regular, a área da base é a área de um quadrado, a área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura lateral, a área total é a soma das áreas das bases com a área lateral, e o volume é a área da base multiplicada pela altura.

Passo 3

Área da Base ( Ab):
Como a base é um quadrado:
Ab = a^2 = 10^2 = 100 cm² ²

Passo 4

Área Lateral ( Al):
Primeiro, calculamos o perímetro da base:
P = 4 times a = 4 times 10 = 40 cm
Agora, multiplicamos pelo altura lateral:
Al = P times h = 40 times 12 = 480 cm² ²

Passo 5

Área Total ( At):
A área total é a soma das áreas das duas bases mais a área lateral:
At = 2 times Ab + Al = 2 times 100 + 480 = 680 cm² ²

Passo 6

Volume ( V):
O volume é a área da base multiplicada pela altura lateral:
V = Ab times h = 100 times 12 = 1200 cm³ ³

Passo 7

Parte B: Prisma Triangular Regular

Agora, vamos para o prisma triangular regular.
Dados:
  • Aresta da base ( a) = 8 cm
  • Aresta lateral ( h) = 10 cm
Teoria:
Para um prisma triangular regular, a área da base é a área de um triângulo equilátero, a área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura lateral, a área total é a soma das áreas das bases com a área lateral, e o volume é a área da base multiplicada pela altura lateral.

Passo 8

Área da Base ( Ab):
A área de um triângulo equilátero é:
Ab = raiz34 times a^2 = raiz34 times 8^2 = raiz34 times 64 = 16raiz3 cm² ²

Passo 9

Área Lateral ( Al):
Calcular o perímetro da base:
P = 3 times a = 3 times 8 = 24 cm
Agora, multiplicar pela altura lateral:
Al = P times h = 24 times 10 = 240 cm² ²

Passo 10

Área Total ( At):
Somar as áreas das duas bases com a área lateral:
At = 2 times Ab + Al = 2 times 16raiz3 + 240 approx 32raiz3 + 240 cm² ²
Aproximando raiz3 approx 1,732:
At approx 32 times 1,732 + 240 approx 55,424 + 240 = 295,424 cm² ²

Passo 11

Volume ( V):
Multiplicar a área da base pela altura lateral:
V = Ab times h = 16raiz3 times 10 = 160raiz3 cm³ approx 160 times 1,732 = 277,12 cm³ ³³

Passo 12

Parte C: Prisma Hexagonal Regular

Vamos por último para o prisma hexagonal regular.
Dados:
  • Aresta da base ( a) = 12 cm
  • Aresta lateral ( h) = 8 cm
Teoria:
Para um prisma hexagonal regular, a área da base é a área de um hexágono regular, a área lateral é o perímetro da base multiplicado pela altura lateral, a área total é a soma das áreas das bases com a área lateral, e o volume é a área da base multiplicada pela altura lateral.

Passo 13

Área da Base ( Ab):
A área de um hexágono regular pode ser calculada como:
Ab = 3raiz32 times a^2 = 3raiz32 times 12^2 = 3raiz32 times 144 = 216raiz3 cm² ²

Passo 14

Área Lateral ( Al):
Calcular o perímetro da base:
P = 6 times a = 6 times 12 = 72 cm
Agora, multiplicar pela altura lateral:
Al = P times h = 72 times 8 = 576 cm² ²

Passo 15

Área Total ( At):
Somar as áreas das duas bases com a área lateral:
At = 2 times Ab + Al = 2 times 216raiz3 + 576 approx 432raiz3 + 576 cm² ²
Aproximando raiz3 approx 1,732:
At approx 432 times 1,732 + 576 approx 748,224 + 576 = 1324,224 cm² ²

Passo 16

Volume ( V):
Multiplicar a área da base pela altura lateral:
V = Ab times h = 216raiz3 times 8 = 1728raiz3 cm³ approx 1728 times 1,732 = 2989, 76 cm³ ³³

Resposta

A) Prisma Quadrangular Regular
  • Área da Base: 100 cm²
  • Área Lateral: 480 cm²
  • Área Total: 680 cm²
  • Volume: 1200 cm³
B) Prisma Triangular Regular
  • Área da Base: 16raiz3 approx 27,71 cm²
  • Área Lateral: 240 cm²
  • Área Total: aproximadamente 295,42 cm²
  • Volume: 160raiz3 approx 277,13 cm³
C) Prisma Hexagonal Regular
  • Área da Base: 216raiz3 approx 374,12 cm²
  • Área Lateral: 576 cm²
  • Área Total: aproximadamente 1324,22 cm²
  • Volume: 1728raiz3 approx 2989,76 cm³

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