Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação
divide o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das duas regiões que são formadas quando a parábola de equação
corta o círculo de equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e o círculo se intersectam. Isso vai nos ajudar a entender os limites de onde vamos calcular a área.
Passo 3
Para achar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações. Sabemos que
, então podemos substituir
na equação do círculo:
Passo 4
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora, encontramos os valores de
correspondentes a cada
:
Para
:
Para
:
Como
não pode ser negativo, descartamos
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Vamos integrar em relação a
, já que a parábola está expressa em
.
Primeiro, resolvemos a equação da parábola para
:
E a equação do círculo para
:
Passo 7
A área entre as duas curvas será a integral da diferença entre as funções de
do círculo e da parábola, no intervalo de
a
:
Multiplicamos por 2 porque a área é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 8
Vamos calcular a integral separadamente:
A primeira integral é a área de um quarto de círculo de raio
, e a segunda é uma integral polinomial simples.
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:
Passo 10
Agora, substituímos os valores na expressão da área:
Resposta
A área de cada uma das duas regiões é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região situada entre a reta
e a parábola de equação
.
Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas
e
.
Esboce graficamente o arco da curva
que é limitado pela reta
, calculando em seguida seu comprimento.
Determine o comprimento do arco da curva
, situado entre os pontos com ordenadas
e
.