Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação divide o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das duas regiões que são formadas quando a parábola de equação corta o círculo de equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e o círculo se intersectam. Isso vai nos ajudar a entender os limites de onde vamos calcular a área.

Passo 3

Para achar esses pontos de interseção, igualamos as duas equações. Sabemos que , então podemos substituir na equação do círculo:

Passo 4

Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, encontramos os valores de correspondentes a cada :
Para :
Para :
Como não pode ser negativo, descartamos . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção, vamos determinar os limites de integração. Vamos integrar em relação a , já que a parábola está expressa em .
Primeiro, resolvemos a equação da parábola para :
E a equação do círculo para :

Passo 7

A área entre as duas curvas será a integral da diferença entre as funções de do círculo e da parábola, no intervalo de a :
Á
Multiplicamos por 2 porque a área é simétrica em relação ao eixo .

Passo 8

Vamos calcular a integral separadamente:
A primeira integral é a área de um quarto de círculo de raio , e a segunda é uma integral polinomial simples.

Passo 9

Calculando a primeira integral:
Calculando a segunda integral:

Passo 10

Agora, substituímos os valores na expressão da área:
Á

Resposta

A área de cada uma das duas regiões é unidades de área.

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