Determine a área da região situada entre a reta e a parábola de equação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região entre a reta e a parábola . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de curvas e cálculo de integrais para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a reta e a parábola se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão delimitar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos igualar as equações para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Então, ou .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a esses :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Para calcular a área entre as duas curvas, podemos integrar a diferença entre as funções. No caso, como a parábola está invertida em relação ao eixo , vamos integrar em relação a .
Rearranjando as equações para :
á
A área será:
á

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

A área da região entre a reta e a parábola é unidades de área.

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Calcule a área da região que se localiza entre a curva e o eixo , para assumindo valores no intervalo .
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Esboce graficamente o arco da curva que é limitado pela reta , calculando em seguida seu comprimento.