Determine a área da região situada entre a reta
e a parábola de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar a área da região entre a reta
e a parábola
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de curvas e cálculo de integrais para achar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a reta e a parábola se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão delimitar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos igualar as equações para encontrar os pontos de interseção:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Então,
ou
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a esses
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Para calcular a área entre as duas curvas, podemos integrar a diferença entre as funções. No caso, como a parábola está invertida em relação ao eixo
, vamos integrar em relação a
.
Rearranjando as equações para
:
A área
será:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A área da região entre a reta
e a parábola
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas
e
.
Calcule a área da região que se localiza entre a curva
e o eixo
, para
assumindo valores no intervalo
.
Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação
divide o círculo
.
Esboce graficamente o arco da curva
que é limitado pela reta
, calculando em seguida seu comprimento.