Determine o comprimento do arco da curva x = y^2/4 - ln(y)/2, situado entre os pontos com ordenadas y = 1 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos determinar o comprimento do arco da curva definida por entre os pontos onde e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula do comprimento de arco para funções expressas em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva expressa como entre dois valores de . A fórmula é:
Aqui, é a derivada de em relação a , é o valor inicial de (no nosso caso, 1) e é o valor final de (no nosso caso, 2).

Passo 3

Vamos calcular a derivada . Dada a função:
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, nossa integral para o comprimento do arco fica:
Para resolver essa integral, pode ser necessário usar técnicas de integração mais avançadas ou uma calculadora científica que suporte integrais definidas.

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é dado pela integral:

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