Determine o comprimento do arco da curva
, situado entre os pontos com ordenadas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos determinar o comprimento do arco da curva definida por
entre os pontos onde
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula do comprimento de arco para funções expressas em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva expressa como
entre dois valores de
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é o valor inicial de
(no nosso caso, 1) e
é o valor final de
(no nosso caso, 2).
Passo 3
Vamos calcular a derivada
. Dada a função:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, nossa integral para o comprimento do arco fica:
Para resolver essa integral, pode ser necessário usar técnicas de integração mais avançadas ou uma calculadora científica que suporte integrais definidas.
Resposta
O comprimento do arco da curva entre
e
é dado pela integral: