Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no primeiro quadrante que está entre as curvas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estão formando essa região:
: É uma parábola que abre para cima.
: Podemos reescrever como , que é uma hipérbole.
: É uma linha reta horizontal.
Nosso objetivo é encontrar onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas:
Entre e :
Ponto de interseção:
Entre e :
Ponto de interseção:
Entre e :
Ponto de interseção:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que queremos calcular. Ela está delimitada pelas curvas , e , todas no primeiro quadrante.
Para calcular a área, vamos dividir a integração em duas partes:
De a : Entre e .
De a : Entre e .
Passo 5
Vamos montar as integrais para cada parte:
Primeira parte ():
Segunda parte ():
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
Calculando :
Calculando Á:
Á
Resposta
Somando as duas áreas:
ÁÁÁ
Portanto, o valor da área da região é aproximadamente 2,725 unidades quadradas.