Calcule o valor da área da região do primeiro quadrante, situada entre as curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no primeiro quadrante que está entre as curvas , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que estão formando essa região:
  1. : É uma parábola que abre para cima.
  2. : Podemos reescrever como , que é uma hipérbole.
  3. : É uma linha reta horizontal.
Nosso objetivo é encontrar onde essas curvas se interceptam para saber os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas:
  • Entre e :
    ã
    Ponto de interseção:
  • Entre e :
    ã
    Ponto de interseção:
  • Entre e :
    ã
    Ponto de interseção:

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região que queremos calcular. Ela está delimitada pelas curvas , e , todas no primeiro quadrante.
Para calcular a área, vamos dividir a integração em duas partes:
  1. De a : Entre e .
  2. De a : Entre e .

Passo 5

Vamos montar as integrais para cada parte:
  1. Primeira parte ( ):
    Á
  2. Segunda parte ( ):
    Á
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Calculando Á:
Á
Calculando Á:
Á

Resposta

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ
Portanto, o valor da área da região é aproximadamente 2,725 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a área da região que se localiza entre a curva e o eixo , para assumindo valores no intervalo .
Calcule a área da região cuja fronteira é definida pela reta e pela parábola .
Determine a área da região situada entre a reta e a parábola de equação .
Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação divide o círculo .