Esboce graficamente o arco da curva
que é limitado pela reta
, calculando em seguida seu comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente esboçar graficamente o arco da curva
que é limitado pela reta
e, depois, calcular o comprimento desse arco. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gráfico de funções e cálculo integral para encontrar o comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é uma equação que relaciona
e
de forma não linear. Para facilitar o entendimento, podemos expressar
em termos de
:
Isso significa que para cada
,
é igual a
elevado a 3/2. Vamos considerar apenas a parte positiva dessa função para simplificar o esboço gráfico.
Passo 3
Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função no intervalo de
até
. Quando
,
. Quando
:
Então, o ponto final do arco é aproximadamente
. Com esses pontos, conseguimos traçar a curva de
até
.
Passo 4
Para calcular o comprimento desse arco, usamos a fórmula do comprimento de uma curva
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar:
Os limites de integração também mudam:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Integrando:
Resposta
O comprimento do arco da curva
limitado pela reta
é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação
divide o círculo
.
Determine a área da região situada entre a reta
e a parábola de equação
.
Determine o comprimento do arco da curva
, situado entre os pontos com ordenadas
e
.
Calcule o comprimento da porção da curva
, situada entre seus pontos de interseção com o eixo
.