Esboce graficamente o arco da curva que é limitado pela reta , calculando em seguida seu comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente esboçar graficamente o arco da curva que é limitado pela reta e, depois, calcular o comprimento desse arco. Para isso, vamos precisar usar conceitos de gráfico de funções e cálculo integral para encontrar o comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é uma equação que relaciona e de forma não linear. Para facilitar o entendimento, podemos expressar em termos de :
Isso significa que para cada , é igual a elevado a 3/2. Vamos considerar apenas a parte positiva dessa função para simplificar o esboço gráfico.

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico dessa função no intervalo de até . Quando , . Quando :
Então, o ponto final do arco é aproximadamente . Com esses pontos, conseguimos traçar a curva de até .

Passo 4

Para calcular o comprimento desse arco, usamos a fórmula do comprimento de uma curva :
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar:
Os limites de integração também mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Integrando:

Resposta

O comprimento do arco da curva limitado pela reta é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Calcule a área de cada uma das duas regiões em que a parábola de equação divide o círculo .
Determine a área da região situada entre a reta e a parábola de equação .
Determine o comprimento do arco da curva , situado entre os pontos com ordenadas e .
Calcule o comprimento da porção da curva , situada entre seus pontos de interseção com o eixo .