Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a
.
(a)
e
.
(b)
e
.
©
e
.
(d)
e
.
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Vamos usar o conteúdo de integração para achar essa área, tanto integrando em relação a
quanto em relação a
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber de onde a gente vai começar e terminar a integração. Temos:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Colocando tudo para um lado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Agora, vamos achar os valores de
correspondentes:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, precisamos expressar
em função de
e identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
A equação
já está em função de
.
A equação
podemos reescrever como
e
. Mas para integrar em relação a
, vamos rearranjar para
em função de
.
No intervalo de
a
, a curva
está acima da curva
. Então, a área
é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. Para isso, precisamos expressar
em função de
e identificar os limites de integração vertical.
Dadas as curvas:
No intervalo de
a
, a curva
está à direita da curva
. Então, a área
é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é aproximadamente
unidades quadradas quando integrada em relação a
e aproximadamente
unidades quadradas quando integrada em relação a
.