Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a x
(ii) integra ção em relação a y.
(a) y = x + 3 e x = -y^2 + 3.
(b) 2x + y = -2, x - y = -1 e 7x - y = 17.
© y = x^2 - 1, y = 2/x^2 e y = 32 x^2.
(d) y + x = 6, y = raiz(x) e y + 2 = 3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Vamos usar o conteúdo de integração para achar essa área, tanto integrando em relação a quanto em relação a . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber de onde a gente vai começar e terminar a integração. Temos:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Colocando tudo para um lado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Agora, vamos achar os valores de correspondentes:
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar em função de e identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
A equação já está em função de .
A equação podemos reescrever como e . Mas para integrar em relação a , vamos rearranjar para em função de .
No intervalo de a , a curva está acima da curva . Então, a área é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar em função de e identificar os limites de integração vertical.
Dadas as curvas:
No intervalo de a , a curva está à direita da curva . Então, a área é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente unidades quadradas quando integrada em relação a e aproximadamente unidades quadradas quando integrada em relação a .

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