Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a .
(a) e .
(b) e .
© e .
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Vamos usar o conteúdo de integração para achar essa área, tanto integrando em relação a quanto em relação a . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber de onde a gente vai começar e terminar a integração. Temos:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Expandindo:
Colocando tudo para um lado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Agora, vamos achar os valores de correspondentes:
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar em função de e identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração.
A equação já está em função de .
A equação podemos reescrever como e . Mas para integrar em relação a , vamos rearranjar para em função de .
No intervalo de a , a curva está acima da curva . Então, a área é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, precisamos expressar em função de e identificar os limites de integração vertical.
Dadas as curvas:
No intervalo de a , a curva está à direita da curva . Então, a área é dada por:
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente unidades quadradas quando integrada em relação a e aproximadamente unidades quadradas quando integrada em relação a .

Exercícios relacionados

(ENADE) Considere a função definida por , para cada . A área da região limitada pelo gráfico da função , o eixo e as retas e é igual a:
(a) unidades de área.
(b) unidades de área.
© unidades de área.
(d) unidades de área.
(e) unidades de área.
Encontre por derivação implícita.
(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;