(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que está em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com integrais em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar saber como integrar em etapas, começando pela variável mais interna até a mais externa.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral interna é . Para resolver isso, usamos a regra básica de integração:
Então:
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado com relação a . A integral fica:
Primeiro, expandimos :
Então, a integral se torna:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos integrar com relação a . A integral é: