(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que está em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos pede para calcular . Aqui, estamos trabalhando com integrais em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar saber como integrar em etapas, começando pela variável mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral interna é . Para resolver isso, usamos a regra básica de integração:
Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado com relação a . A integral fica:
Primeiro, expandimos :
Então, a integral se torna:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar com relação a . A integral é:
Como é uma constante, a integral fica:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a .
(a) e .
(b) e .
© e .
(d) e .
(ENADE) Considere a função definida por , para cada . A área da região limitada pelo gráfico da função , o eixo e as retas e é igual a:
(a) unidades de área.
(b) unidades de área.
© unidades de área.
(d) unidades de área.
(e) unidades de área.
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: em ;
Dê os limites de integração para calcular a integral
como uma integral iterada sobre a região que é limitada abaixo pelo plano , do lado pelo cilindro e acima pelo paraboloide .