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As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3). integral-1^1 integral0^2 pi integral0^1+cos theta 4 r d r d theta d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que está em coordenadas cilíndricas. O enunciado nos pede para calcular integral-1^1 integral0^2 pi integral0^1+cos theta 4 r , dr , dtheta , dz. Aqui, estamos trabalhando com integrais em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar saber como integrar em etapas, começando pela variável mais interna até a mais externa.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral a r , dr = a2 r^2 . A integral interna é integral0^1+cos theta 4 r , dr = 4 [ r^22 ]0^1+cos theta = 2 r^2 gr|0^1+cos theta = 2 (1 + cos theta)^2 - 0 = 2 (1 + cos theta)^2 . Para resolver isso, usamos a regra básica de integração:
Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado com relação a integral0^2pi 2 (1 + cos theta)^2 , dtheta . A integral fica:
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2 cos theta + cos^2 theta
Primeiro, expandimos 2 integral0^2pi (1 + 2 cos theta + cos^2 theta ) dtheta = 2 [ integral0^2pi 1 , dtheta + 2 integral0^2pi cos theta , dtheta + integral0^2pi cos^2 theta , dtheta ] :
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
Então, a integral se torna:
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
Sabemos que:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
2 [ 2pi + 2 cdot 0 + pi ] = 2 cdot 3pi = 6pi
Portanto:

Passo 4

Finalmente, vamos integrar com relação a integral-1^1 6pi , dz . A integral é:
6pi integral-1^1 dz = 6pi [z]-1^1 = 6pi (1 - (-1)) = 6pi cdot 2 = 12pi
Como é uma constante, a integral fica:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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