(ENADE) Considere a função f: R -> R definida por y = f(x) = x^4 - 5*x^2 + 4, para cada x em R. A área da região limitada pelo gráfico da função y = f(x), o eixo O x e as retas x = 0 e x = 2 é igual a:
(a) 16/15 unidades de área.
(b) 38/15 unidades de área.
© 44/15 unidades de área.
(d) 60/15 unidades de área.
(e) 76/15 unidades de área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a área que está entre o gráfico da função , o eixo , e as retas e . Para resolver isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz no intervalo de a . A gente quer saber se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo, porque isso influencia como calculamos a área.

Passo 3

Vamos ver onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Resolvendo a equação:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Deixe , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou . Voltando para :
No intervalo de a , os zeros são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde a função cruza o eixo, vamos ver o comportamento dela entre e :
  • Entre e , testando :
  • Entre e , testando :
Então, a função está acima do eixo de a e abaixo de a .

Passo 5

Para achar a área total, precisamos integrar a função onde ela está acima do eixo e o módulo da função onde ela está abaixo. Isso fica assim:
Á
Então, vamos calcular essas integrais.

Passo 6

Vamos achar a antiderivada de :
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração.

Passo 7

Primeiro, calculamos de a :

Passo 8

Depois, calculamos de a :
Como a função está abaixo do eixo, tomamos o módulo:
Á

Resposta

A área da região é igual a unidades de área. A alternativa correta é a letra ©.

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