(ENADE) Considere a função definida por , para cada . A área da região limitada pelo gráfico da função , o eixo e as retas e é igual a:
(a) unidades de área.
(b) unidades de área.
© unidades de área.
(d) unidades de área.
(e) unidades de área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a área que está entre o gráfico da função , o eixo , e as retas e . Para resolver isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função faz no intervalo de a . A gente quer saber se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo, porque isso influencia como calculamos a área.

Passo 3

Vamos ver onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Resolvendo a equação:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Deixe , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou . Voltando para :
No intervalo de a , os zeros são e .

Passo 4

Agora que sabemos onde a função cruza o eixo, vamos ver o comportamento dela entre e :
  • Entre e , testando :
  • Entre e , testando :
Então, a função está acima do eixo de a e abaixo de a .

Passo 5

Para achar a área total, precisamos integrar a função onde ela está acima do eixo e o módulo da função onde ela está abaixo. Isso fica assim:
Á
Então, vamos calcular essas integrais.

Passo 6

Vamos achar a antiderivada de :
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração.

Passo 7

Primeiro, calculamos de a :

Passo 8

Depois, calculamos de a :
Como a função está abaixo do eixo, tomamos o módulo:
Á

Resposta

A área da região é igual a unidades de área. A alternativa correta é a letra ©.

Exercícios relacionados

Encontre por derivação implícita.
Sabendo que a função , satisfaz a equaçāo diferencial e que , calcule .
Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a .
(a) e .
(b) e .
© e .
(d) e .
(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).