(ENADE) Considere a função
definida por
, para cada
. A área da região limitada pelo gráfico da função
, o eixo
e as retas
e
é igual a:
(a)
unidades de área.
(b)
unidades de área.
©
unidades de área.
(d)
unidades de área.
(e)
unidades de área.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a área que está entre o gráfico da função
, o eixo
, e as retas
e
. Para resolver isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
faz no intervalo de
a
. A gente quer saber se a função está acima ou abaixo do eixo
nesse intervalo, porque isso influencia como calculamos a área.
Passo 3
Vamos ver onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
. Resolvendo a equação:
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Deixe
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
. Voltando para
:
No intervalo de
a
, os zeros são
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde a função cruza o eixo, vamos ver o comportamento dela entre
e
:
- Entre
e , testando :
- Entre
e , testando :
Então, a função está acima do eixo
de
a
e abaixo de
a
.
Passo 5
Para achar a área total, precisamos integrar a função onde ela está acima do eixo e o módulo da função onde ela está abaixo. Isso fica assim:
Então, vamos calcular essas integrais.
Passo 6
Vamos achar a antiderivada de
:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração.
Passo 7
Primeiro, calculamos de
a
:
Passo 8
Depois, calculamos de
a
:
Como a função está abaixo do eixo, tomamos o módulo:
Resposta
A área da região é igual a
unidades de área. A alternativa correta é a letra ©.
Exercícios relacionados
Encontre
por derivação implícita.
Sabendo que a função
, satisfaz a equaçāo diferencial
e que
, calcule
.
Calcule a área de cada região delimitada pelas curvas dadas abaixo através de:
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a .
(a) e
.
(b) e
.
© e
.
(d) e
.
(i) integração em relação a
(ii) integra ção em relação a
(a)
(b)
©
(d)
(1)
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).
As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios de (1) a (3).