Calcule a área compreendida entre as curvas
e
, no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de áreas entre curvas no primeiro quadrante. A gente tem três funções:
,
e
. Para calcular a área entre essas curvas, vamos precisar entender onde elas se interceptam e usar integrais para encontrar a área aqui entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos de interseção entre as curvas. Isso ajuda a entender os limites de integração. Vamos começar igualando
com
:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos
e
. Como estamos no primeiro quadrante, consideramos
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
se encontra com
:
Resolvendo essa equação, obtemos
e
. No primeiro quadrante, usamos
.
Passo 4
Com os pontos de interseção definidos, sabemos que a área está entre
e
. Agora, determinamos qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os gráficos,
está acima de
e
.
Passo 5
Para calcular a área entre
e
, usamos a integral:
Calculando essa integral:
Como a área não pode ser negativa, consideramos
unidades quadradas.
Passo 6
Para a área entre
e
, a integral é:
Resolvendo:
Resposta
A área compreendida entre as curvas
,
e
no primeiro quadrante é aproximadamente 11.5 unidades quadradas.