Calcule a área compreendida entre as curvas y=8-x^2, y=7x e y = 2 x, no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo de áreas entre curvas no primeiro quadrante. A gente tem três funções: , e . Para calcular a área entre essas curvas, vamos precisar entender onde elas se interceptam e usar integrais para encontrar a área aqui entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos de interseção entre as curvas. Isso ajuda a entender os limites de integração. Vamos começar igualando com :
Resolvendo a equação quadrática, encontramos e . Como estamos no primeiro quadrante, consideramos .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde se encontra com :
Resolvendo essa equação, obtemos e . No primeiro quadrante, usamos .

Passo 4

Com os pontos de interseção definidos, sabemos que a área está entre e . Agora, determinamos qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando os gráficos, está acima de e .

Passo 5

Para calcular a área entre e , usamos a integral:
Calculando essa integral:
Como a área não pode ser negativa, consideramos unidades quadradas.

Passo 6

Para a área entre e , a integral é:
Resolvendo:
unidades quadradas.

Resposta

A área compreendida entre as curvas , e no primeiro quadrante é aproximadamente 11.5 unidades quadradas.

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