Calcule as integrais.
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular:
integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2x^2 y , dz , dy , dx
Isso envolve integração múltipla, onde vamos integrar uma função em três dimensões. Vamos precisar entender como integrar uma função em relação a cada variável passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^x+y 2x^2 y , dz = 2x^2 y cdot (z) |0^x+y = 2x^2 y (x + y) . A expressão dentro da integral é integral-1^2 integral1^x^2 2x^2 y (x + y) , dy , dx , e estamos integrando de até . Como a função não depende de , a integração em é simples:
Então, agora nossa integral dupla fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral dupla:
2x^2 y (x + y) = 2x^3 y + 2x^2 y^2
Agora, a integral dupla é:
integral-1^2 integral1^x^2 (2x^3 y + 2x^2 y^2) , dy , dx

Passo 4

Agora, integremos em relação a integral 2x^3 y , dy = 2x^3 cdot y^22 = x^3 y^2 . Vamos fazer isso termo a termo.
Primeiro, integramos integral 2x^2 y^2 , dy = 2x^2 cdot y^33 = 23 x^2 y^3 :
integral1^x^2 (2x^3 y + 2x^2 y^2) , dy = x^3 (x^2)^2 - x^3 (1)^2 + 23 x^2 (x^2)^3 - 23 x^2 (1)^3
Depois, integramos x^7 - x^3 + 23 x^8 - 23 x^2 :
Então, combinando os resultados:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-1^2 ( x^7 - x^3 + 23 x^8 - 23 x^2 ) dx de integral x^7 dx = x^88 a integral x^3 dx = x^44 :
integral 23 x^8 dx = 227 x^9
Integramos termo a termo:
integral 23 x^2 dx = 29 x^3
x^88 - x^44 + 227 x^9 - 29 x^3
Então, a antiderivada é:

Passo 6

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 2^88 - 2^44 + 227 cdot 2^9 - 29 cdot 2^3 = 2568 - 164 + 102427 - 169 = 32 - 4 + 102427 - 169 a 32 = 86427, 4 = 10827, 16 = 43227 :
Para 86427 - 10827 + 102427 - 4827 = 173227 :
(-1)^88 - (-1)^44 + 227 cdot (-1)^9 - 29 cdot (-1)^3 = 18 - 14 - 227 + 29
Convertendo para denominador 27:
18 = 27216, 14 = 54216, 227 = 16216, 29 = 48216
Então:
27216 - 54216 - 16216 + 48216 = 5216
Para :
Convertendo para denominador 216:
Então:

Resposta

A integral vale:
5138 ou 64,125

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