Calcule: integral x^2-3 x+4x^2-4 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A gente vai usar técnicas de cálculo envolvendo frações racionais, especificamente, a fração algébrica e frações parciais. Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é igual ou maior que o do denominador. Se for, a gente faz uma divisão polinomial antes de seguir.

Passo 2

Observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando os graus são iguais, a gente pode simplificar a fração dividindo os polinômios. Vamos fazer isso:
Dividindo por , o quociente é 1 e o resto é .
Então, .

Passo 3

Agora, a nossa integral fica:
integral x^2-3x+4x^2-4x+3 , dx = integral 1 , dx + integral x +1x^2-4x+3 , dx
A primeira integral é simples, e a segunda vamos resolver usando frações parciais.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) . Vamos fatorar:
x +1(x-1)(x-3)
Então, a fração fica:
x +1(x-1)(x-3) = Ax-1 + Bx-3
Vamos expressar isso como soma de frações simples:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Para encontrar x +1 = A(x-3) + B(x-1) e 3 +1 = A(3-3) + B(3-1) Rightarrow 4 = 0 + 2B Rightarrow B = 2 , multiplicamos ambos os lados por 1 +1 = A(1-3) + B(1-1) Rightarrow 2 = -2A + 0 Rightarrow A = -1 :
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, coloque :
Agora, coloque :

Passo 6

Agora que temos x +1(x-1)(x-3) = -1x-1 + 2x-3 e integral 1 , dx + integral ( -1x-1 + 2x-3 ) , dx , substituímos de volta:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral 1 , dx = x
integral -1x-1 , dx = -ln|x-1|
integral 2x-3 , dx = 2ln|x-3|

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
x - ln|x-1| + 2ln|x-3| + C
Onde é a constante de integração.

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