Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. A gente vai usar técnicas de cálculo envolvendo frações racionais, especificamente, a fração algébrica e frações parciais. Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é igual ou maior que o do denominador. Se for, a gente faz uma divisão polinomial antes de seguir.
Passo 2
Observamos que o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
). Quando os graus são iguais, a gente pode simplificar a fração dividindo os polinômios. Vamos fazer isso:
Dividindo
por
, o quociente é 1 e o resto é
.
Então,
.
Passo 3
Agora, a nossa integral fica:
A primeira integral é simples, e a segunda vamos resolver usando frações parciais.
Passo 4
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Vamos fatorar:
Então, a fração fica:
Vamos expressar isso como soma de frações simples:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos de volta:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.