Calcule a área do plano limitada pelas retas
, pelo eixo
, e pelo gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área limitada pelas retas
,
, pelo eixo
(que é a reta
) e pelo gráfico da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa área que queremos calcular. Imagine o gráfico da função
, que é uma curva crescente. As retas
e
vão cortar essa curva em dois pontos, e o eixo
forma a base dessa área. Então, a região que estamos procurando está entre
e
, debaixo da curva
e acima do eixo
.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos usar a integral definida. A ideia é somar infinitos retângulos bem fininhos que ficam entre
e
, com altura dada pela função
. A fórmula geral para a área
é:
Onde
e
são os limites de integração, que nesse caso são 1 e 3, respectivamente.
Passo 4
Vamos substituir na fórmula os valores que temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Sabemos que
é o mesmo que
.
Passo 5
Para integrar
, usamos a regra da potência para integrais:
Nesse caso,
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Calculando cada termo:
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão:
Podemos deixar essa expressão assim ou calcular um valor numérico aproximado.
Resposta
A área limitada pelas retas
,
, pelo eixo
e pelo gráfico de
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Questão 3 - Calcule os seguintes limites, se existirem:
q)
q)
Considere a
.
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma .
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
a) Encontre uma solução da EDO acima da forma
b) Encontre uma solução da EDO que seja uma função de primeiro grau.
c) Encontre a solução geral da EDO.
d) Encontre a solução do PVI
Em cada um dos itens abaixo, utilize a Fórmula de Euler para reescrever a expressão dada na forma
:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Calcule a área do conjunto de todos os
tais que