Calcule a área dos conjuntos:
e ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a área de um conjunto de pontos no plano, chamado de . Esse conjunto é definido por dois intervalos:
  • : isso significa que o valor de varia de 1 a 2.
  • : aqui, o valor de vai de 0 até a raiz quadrada de .
Vamos precisar usar cálculo integral para encontrar essa área, porque estamos lidando com uma região delimitada por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No eixo , estamos de 1 a 2. No eixo , para cada nesse intervalo, vai de 0 até . Isso forma uma curva que começa no ponto e termina em .

Passo 3

Para calcular a área dessa região, vamos integrar a função que delimita em relação a . A fórmula geral para a área é:
Onde:
  • e são os limites de integração no eixo (no nosso caso, 1 e 2).
  • é a função que define o limite superior de (aqui, ).

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver a integral , vamos fazer uma substituição que simplifica o cálculo. Vamos definir:
Quando , então , e quando , .

Passo 6

Substituindo na integral:
A integral de é bem conhecida:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar aqui porque estamos calculando uma área definida.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:

Resposta

A área do conjunto é unidades de área.

Exercícios relacionados

Mostre que o limite não existe.
Mostre que
Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.