Calcule a área dos conjuntos:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a área de um conjunto de pontos no plano, chamado de
. Esse conjunto é definido por dois intervalos:
-
: isso significa que o valor de varia de 1 a 2. -
: aqui, o valor de vai de 0 até a raiz quadrada de .
Vamos precisar usar cálculo integral para encontrar essa área, porque estamos lidando com uma região delimitada por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No eixo
, estamos de 1 a 2. No eixo
, para cada
nesse intervalo,
vai de 0 até
. Isso forma uma curva que começa no ponto
e termina em
.
Passo 3
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a função que delimita
em relação a
. A fórmula geral para a área
é:
Onde:
-
e são os limites de integração no eixo (no nosso caso, 1 e 2). -
é a função que define o limite superior de (aqui, ).
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos fazer uma substituição que simplifica o cálculo. Vamos definir:
Quando
, então
, e quando
,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
A integral de
é bem conhecida:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar aqui porque estamos calculando uma área definida.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração:
Resposta
A área do conjunto
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Mostre que o limite não existe.
Mostre que
Calcule, utilizando mudança de variáveis,
, a integral
, sendo R a
região limitada pelas retas .
região limitada pelas retas
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.