Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Isso vai facilitar a nossa vida para integrar nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema para e :
Isso é importante porque precisamos reescrever nossa função integranda e os limites de integração em termos de e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
Vamos agora identificar a região y + x = 3 Rightarrow u = 3, no novo sistema de coordenadas y + x = 5 Rightarrow u = 5, e y - x = 1 Rightarrow v = 1, . As retas que delimitam y - x = 3 Rightarrow v = 3 são:
Então, no plano , nossa região é um retângulo onde varia de 3 a 5 e varia de 1 a 3.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x+y)^6y-x , dx , dy = integral duplaR' u^6v times 12 , du , dv e 12 integralu=3^5 integralv=1^3 u^6v , dv , du :
Onde é o retângulo definido por e . Simplificando:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a integralv=1^3 u^6v , dv = u^6 integral1^3 1v , dv = u^6 [ ln v ]1^3 = u^6 (ln 3 - ln 1) = u^6 ln 3 :
Já que .
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral em 12 integral3^5 u^6 ln 3 , du = ln 32 integral3^5 u^6 , du :
A constante pode ser colocada fora da integral.
Passo 8
Vamos calcular a integral de integral u^6 , du = u^77 + C :