Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Isso vai facilitar a nossa vida para integrar nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema para e :
Isso é importante porque precisamos reescrever nossa função integranda e os limites de integração em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Isso significa que .

Passo 4

Vamos agora identificar a região no novo sistema de coordenadas e . As retas que delimitam são:
Então, no plano , nossa região é um retângulo onde varia de 3 a 5 e varia de 1 a 3.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de e :
Onde é o retângulo definido por e . Simplificando:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a :
Já que .

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral em :
A constante pode ser colocada fora da integral.

Passo 8

Vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de 3 a 5:

Passo 9

Por fim, multiplicamos pelo fator constante:

Resposta

A integral vale .

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Calcule a área dos conjuntos:
e ;
Mostre que o limite não existe.
Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.
Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule