Calcule, utilizando mudança de variáveis, u=x+y, v=y-x, a integral integral duplaR (x+y)^6y-x d x d y, sendo R a
região limitada pelas retas y+x=3, y+x=5, y-x=1 e y-x=3.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Isso vai facilitar a nossa vida para integrar nessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar u = x + y e v = y - x e x = u - v2 e y = u + v2 em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema para e :
Isso é importante porque precisamos reescrever nossa função integranda e os limites de integração em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v é dado por:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = -12, partial ypartial u = 12, partial ypartial v = 12
Calculando as derivadas parciais:
J = 12 & -12 12 & 12 = (12 times 12) - (-12 times 12) = 14 + 14 = 12
Então,
Isso significa que .

Passo 4

Vamos agora identificar a região y + x = 3 Rightarrow u = 3, no novo sistema de coordenadas y + x = 5 Rightarrow u = 5, e y - x = 1 Rightarrow v = 1, . As retas que delimitam y - x = 3 Rightarrow v = 3 são:
Então, no plano , nossa região é um retângulo onde varia de 3 a 5 e varia de 1 a 3.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaR (x+y)^6y-x , dx , dy = integral duplaR' u^6v times 12 , du , dv e 12 integralu=3^5 integralv=1^3 u^6v , dv , du :
Onde é o retângulo definido por e . Simplificando:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a integralv=1^3 u^6v , dv = u^6 integral1^3 1v , dv = u^6 [ ln v ]1^3 = u^6 (ln 3 - ln 1) = u^6 ln 3 :
Já que .

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral em 12 integral3^5 u^6 ln 3 , du = ln 32 integral3^5 u^6 , du :
A constante pode ser colocada fora da integral.

Passo 8

Vamos calcular a integral de integral u^6 , du = u^77 + C :
[ u^77 ]3^5 = 5^77 - 3^77 = 5^7 - 3^77
Aplicando os limites de 3 a 5:

Passo 9

Por fim, multiplicamos pelo fator constante:
ln 32 times 5^7 - 3^77 = ln 3 (5^7 - 3^7)14

Resposta

A integral vale .

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