Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e . Para isso, vamos usar a mudança de variáveis e . Isso vai facilitar a nossa vida para integrar nessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema para e :
Isso é importante porque precisamos reescrever nossa função integranda e os limites de integração em termos de e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Isso significa que .
Passo 4
Vamos agora identificar a região no novo sistema de coordenadas e . As retas que delimitam são:
Então, no plano , nossa região é um retângulo onde varia de 3 a 5 e varia de 1 a 3.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de e :
Onde é o retângulo definido por e . Simplificando:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a :
Já que .
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral em :