Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) raiz[3]x y^2x+y^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite: . A gente vai usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde raiz[3]x cdot 0^2x + 0^3 = 0x = 0 . Nesse caso, substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo (onde ), o limite da função é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos deixar raiz[3]y^3 cdot y^2y^3 + y^3 = y cdot y^22y^3 = y^32y^3 = 12 . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite da função é .

Resposta

Como obtemos valores diferentes para o limite ( e ) ao escolher caminhos distintos para se aproximar de , concluímos que o limite não existe.

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