Mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite: . A gente vai usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites de funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Nesse caso, substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo (onde ), o limite da função é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos deixar . Substituindo na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite da função é .

Resposta

Como obtemos valores diferentes para o limite ( e ) ao escolher caminhos distintos para se aproximar de , concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados

Mostre que
Calcule o limite.
Calcule a área dos conjuntos:
e ;
Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .