Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano
. Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Ou seja, queremos saber se, para qualquer par
, a função não apresenta “quebras” ou “saltos”.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há interrupções no seu gráfico nesse ponto. Para funções de duas variáveis, como essa, precisamos que a função seja contínua em relação a
e
ao mesmo tempo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Temos duas partes principais:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 4
Vamos verificar onde cada parte está definida:
-
Logaritmo natural (
) só é definido para argumentos positivos. Então, e . - Para qualquer real
ou , e são sempre maiores que 0. Isso significa que os logaritmos estão sempre definidos para qualquer e .
- Para qualquer real
Passo 5
Porém, temos um denominador na função. Não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que
.
Vamos resolver
:
Passo 6
Encontramos que quando
, o denominador é zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, a função não está definida para qualquer ponto onde
.
Passo 7
Como a função não está definida para
, ela não é contínua nesses pontos. Logo, a função não é contínua em todos os pontos do plano
.
Resposta
A função
não é contínua em todos os pontos do plano
, pois está indefinida quando
.
Exercícios relacionados
Calcule, utilizando mudança de variáveis,
, a integral
, sendo R a
região limitada pelas retas .
região limitada pelas retas
Calcule a área dos conjuntos:
e
;
Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
Calcule o limite.