Qual funções abaixo é contínua em todos pontos no plano . Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função é contínua em todos os pontos do plano . Ou seja, queremos saber se, para qualquer par , a função não apresenta “quebras” ou “saltos”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não há interrupções no seu gráfico nesse ponto. Para funções de duas variáveis, como essa, precisamos que a função seja contínua em relação a e ao mesmo tempo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Temos duas partes principais:
  1. Numerador:
  2. Denominador:

Passo 4

Vamos verificar onde cada parte está definida:
  • Logaritmo natural ( ) só é definido para argumentos positivos. Então, e .
    • Para qualquer real ou , e são sempre maiores que 0. Isso significa que os logaritmos estão sempre definidos para qualquer e .

Passo 5

Porém, temos um denominador na função. Não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que .
Vamos resolver :

Passo 6

Encontramos que quando , o denominador é zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, a função não está definida para qualquer ponto onde .

Passo 7

Como a função não está definida para , ela não é contínua nesses pontos. Logo, a função não é contínua em todos os pontos do plano .

Resposta

A função não é contínua em todos os pontos do plano , pois está indefinida quando .

Exercícios relacionados

Calcule, utilizando mudança de variáveis, , a integral , sendo R a
região limitada pelas retas .
Calcule a área dos conjuntos:
e ;
Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule
Calcule o limite.