Calcule a área entre as curvas e no intervalo [0, 2].

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área entre as curvas e no intervalo de até . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente a parte que estuda integrais para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, podemos comparar os valores de para alguns pontos entre 0 e 2.
Por exemplo, para :
Aqui vemos que está acima.
Para :
Ainda, está acima.
E para :
Aqui, as duas curvas se encontram.
Portanto, no intervalo de 0 a 2, está acima de .

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
Onde:
  • é a função de cima ( ),
  • é a função de baixo ( ),
  • e são os limites do intervalo, que neste caso são 0 e 2.

Passo 4

Vamos substituir as funções e os limites na fórmula:
Á

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Vamos avaliar a integral definida nos limites de 0 a 2:
Simplificando:

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de 0 a 2 é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Verifique que a função
é contínua em todo .
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Dada a função , onde e , encontre .
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.