Dada a função
, onde
e
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo que envolve derivada de uma função definida por uma integral. A função que precisamos derivar é
, onde
,
e
. Para isso, vamos usar a regra de derivação para integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivar funções que são definidas por integrais com limites que dependem de
. A regra diz que:
Isso significa que para encontrar a derivada de
, multiplicamos a função integranda avaliada no limite superior pela derivada do limite superior e subtraímos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.
Passo 3
Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
- Função no limite superior:
- Derivada do limite superior:
- Função no limite inferior:
- Derivada do limite inferior:
Passo 4
Agora, aplicamos esses valores na fórmula da regra de Leibniz:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área entre as curvas
e
no intervalo [0, 2].
Verifique que a função
é contínua em todo
.
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Mostre diretamente da definição que se
então
. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
.