Dada a função , onde e , encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo que envolve derivada de uma função definida por uma integral. A função que precisamos derivar é , onde , e . Para isso, vamos usar a regra de derivação para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivar funções que são definidas por integrais com limites que dependem de . A regra diz que:
Isso significa que para encontrar a derivada de , multiplicamos a função integranda avaliada no limite superior pela derivada do limite superior e subtraímos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Função no limite superior:
  2. Derivada do limite superior:
  3. Função no limite inferior:
  4. Derivada do limite inferior:

Passo 4

Agora, aplicamos esses valores na fórmula da regra de Leibniz:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule a área entre as curvas e no intervalo [0, 2].
Verifique que a função
é contínua em todo .
Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Mostre diretamente da definição que se então . Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade .