Dada a função G(x)=integrala(x)^b(x) f(t) d t, onde a(x)=x^2, b(x)=2 x e f(t)=sin (t), encontre G^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo que envolve derivada de uma função definida por uma integral. A função que precisamos derivar é , onde , e . Para isso, vamos usar a regra de derivação para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra de Leibniz para derivar funções que são definidas por integrais com limites que dependem de G'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) . A regra diz que:
Isso significa que para encontrar a derivada de , multiplicamos a função integranda avaliada no limite superior pela derivada do limite superior e subtraímos a função integranda avaliada no limite inferior multiplicada pela derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Função no limite superior:
  2. Derivada do limite superior:
  3. Função no limite inferior:
  4. Derivada do limite inferior:

Passo 4

Agora, aplicamos esses valores na fórmula da regra de Leibniz:
G'(x) = sin(2x) cdot 2 - sin(x^2) cdot 2x

Resposta

Portanto, a derivada de G'(x) = 2,sin(2x) - 2x,sin(x^2) é:

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