Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se uma sequência estritamente decrescente é sempre limitada superiormente. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência estritamente decrescente. Isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Em termos matemáticos, para todo , temos:

Passo 3

Agora, vamos definir o que significa uma sequência ser limitada superiormente. Uma sequência é limitada superiormente se existe um número real tal que todos os termos da sequência são menores ou iguais a :

Passo 4

Vamos analisar se toda sequência estritamente decrescente atende a essa condição. Consideremos que temos uma sequência estritamente decrescente infinita. Mesmo que os termos continuem diminuindo, o primeiro termo pode servir como um limite superior.

Passo 5

De fato, podemos escolher . Como a sequência é estritamente decrescente, sabemos que:
Portanto, todos os termos seguintes serão menores que , satisfazendo a condição de ser limitada superiormente.

Resposta

Sim, uma sequência estritamente decrescente é sempre limitada superiormente, e um limitante superior pode ser o primeiro termo da sequência .

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Dada a função , onde e , encontre .
Calcule a área entre as curvas e no intervalo [0, 2].
Mostre diretamente da definição que se então . Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade .
Se e então .