Verifique os seguintes fatos sobre os vários conceitos abordados na Seção 1.1. (Note: pede-se Uma sequência (estritamente) decrescente é sempre limitada superiormente.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos verificar se uma sequência estritamente decrescente é sempre limitada superiormente. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência estritamente decrescente. Isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior. Em termos matemáticos, para todo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos definir o que significa uma sequência ser limitada superiormente. Uma sequência é limitada superiormente se existe um número real
tal que todos os termos da sequência são menores ou iguais a
:
Passo 4
Vamos analisar se toda sequência estritamente decrescente atende a essa condição. Consideremos que temos uma sequência estritamente decrescente infinita. Mesmo que os termos continuem diminuindo, o primeiro termo
pode servir como um limite superior.
Passo 5
De fato, podemos escolher
. Como a sequência é estritamente decrescente, sabemos que:
Portanto, todos os termos seguintes serão menores que
, satisfazendo a condição de ser limitada superiormente.
Resposta
Sim, uma sequência estritamente decrescente é sempre limitada superiormente, e um limitante superior pode ser o primeiro termo da sequência
.
Exercícios relacionados
Dada a função
, onde
e
, encontre
.
Calcule a área entre as curvas
e
no intervalo [0, 2].
Mostre diretamente da definição que se
então
. Disto, estabeleça a propriedade do produto (Proposição 1.19(b)), usando a propriedade da soma (Proposição 1.19(a)) e a identidade
.
Se
e
então
.