Verifique que a função
é contínua em todo .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em várias variáveis e como calcular o limite da função em pontos específicos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em . Uma função é contínua em todos os pontos de se, para qualquer ponto , o limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, a função já está definida de forma diferente apenas no ponto . Para todos os outros pontos , a função é uma combinação de polinômios e divisões, que são contínuas onde a divisão está bem definida (ou seja, onde ).
Então, o único ponto que precisamos verificar é .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se esse limite for igual a , então a função é contínua em .
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Como , simplificamos mais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de 0. Observe que:
Portanto,
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Isso significa que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , a função é contínua em todo .

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Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Calcule a área entre as curvas e no intervalo [0, 2].
Dada a função , onde e , encontre .