Verifique que a função
f(x, y)=rll x y cdot(x^2-y^2x^2+y^2), & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
é contínua em todo R^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x, y) = x y cdot(x^2-y^2x^2+y^2), & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida de duas formas diferentes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em várias variáveis e como calcular o limite da função em pontos específicos, especialmente em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em . Uma função é contínua em todos os pontos de se, para qualquer ponto , o limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, a função já está definida de forma diferente apenas no ponto . Para todos os outros pontos , a função é uma combinação de polinômios e divisões, que são contínuas onde a divisão está bem definida (ou seja, onde ).
Então, o único ponto que precisamos verificar é .

Passo 3

Vamos calcular o limite de x = r cos(theta) y = r sin(theta) quando f(r, theta) = r cos(theta) cdot r sin(theta) cdot ( r^2 cos^2(theta) - r^2 sin^2(theta)r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) ) se aproxima de f(r, theta) = r^2 cos(theta) sin(theta) cdot ( cos^2(theta) - sin^2(theta)cos^2(theta) + sin^2(theta) ) . Se esse limite for igual a f(r, theta) = r^2 cos(theta) sin(theta) (cos^2(theta) - sin^2(theta)) , então a função é contínua em .
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Como , simplificamos mais:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de |cos(theta)| <= 1 |sin(theta)| <= 1 |cos^2(theta) - sin^2(theta)| <= 1 quando |f(r, theta)| <= r^2 cdot 1 cdot 1 cdot 1 = r^2 se aproxima de 0. Observe que:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0
Portanto,
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Isso significa que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , a função é contínua em todo .

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