Verifique que a função
é contínua em todo
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas diferentes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todo
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade em várias variáveis e como calcular o limite da função em pontos específicos, especialmente em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em
. Uma função
é contínua em todos os pontos de
se, para qualquer ponto
, o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
No nosso caso, a função já está definida de forma diferente apenas no ponto
. Para todos os outros pontos
, a função é uma combinação de polinômios e divisões, que são contínuas onde a divisão está bem definida (ou seja, onde
).
Então, o único ponto que precisamos verificar é
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite for igual a
, então a função é contínua em
.
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde:
Aqui,
representa a distância até a origem
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Como
, simplificamos mais:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de 0. Observe que:
Portanto,
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Isso significa que:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, a função
é contínua em todo
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.
.
Calcule a área entre as curvas
e
no intervalo [0, 2].
Dada a função
, onde
e
, encontre
.