Calcule a área entre as curvas y = e^x e y = x + 2 no intervalo de x = 0 a x = 2. Esboce o gráfico da região entre as duas curvas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área entre as curvas e no intervalo de a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar qual curva está acima da outra em cada parte do intervalo e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas curvas se cruzam no intervalo de a . Isso acontece quando . Resolver essa equação exatamente é complicado, então vamos estimar o ponto de interseção.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de :
  • Em :
    Aqui, está acima de .
  • Em :
    Ainda, está um pouco acima.
  • Em :
    Agora, está acima de .
Então, as curvas se cruzam aproximadamente em .

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo em duas partes:
  1. De a , a curva de cima é .
  2. De a , a curva de cima é .
Para encontrar a área total, vamos calcular duas integrais e somá-las.

Passo 5

Primeira parte da área (de 0 a 1.146):
Á
Integrando:
Á
Calculando nos limites:
Á
Á
Á
Á

Passo 6

Segunda parte da área (de 1.146 a 2):
Á
Integrando:
Á
Calculando nos limites:
Á
Á
Á
Á

Resposta

A área entre as curvas e no intervalo de a é aproximadamente 2 unidades de área.

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