Calcule: integral triplaW raizx^2+z^2 d V; onde W é o sólido limitado pelo parabolóide
y=x^2+z^2 e o plano y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaW raizx^2+z^2 , dV, onde W é o sólido limitado pelo paraboloide y = x^2 + z^2 e pelo plano y = 4. Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar essa integração, já que a expressão raizx^2 + z^2 sugere a utilização dessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região W. O paraboloide y = x^2 + z^2 é uma superfície que se abre para cima, e o plano y = 4 é uma superfície plana horizontal. A interseção dessas duas superfícies nos dá o limite superior do nosso sólido W. Para visualizar, imagine um “tampão” plano cortando o paraboloide.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações:
x = r cos theta z = r sin theta y = y
E o elemento de volume vira:
dV = r , dr , dtheta , dy
Além disso, raizx^2 + z^2 simplifica para r nessas coordenadas.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, theta e y.
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • r varia de 0 até onde o paraboloide atinge o plano y = 4. Como y = r^2 no paraboloide, quando y = 4, temos r = raiz4 = 2.
  • y varia de y = r^2 (o paraboloide) até y = 4 (o plano).

Passo 5

Com os limites definidos, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW raizx^2+z^2 , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r cdot r , dy , dr , dtheta
Aqui, r cdot r = r^2 vem de raizx^2+z^2 = r e do elemento de volume dV = r , dr , dtheta , dy.

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^2 , dy , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a y:
integralr^2^4 r^2 , dy = r^2 (4 - r^2)
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 r^2 (4 - r^2) , dr , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 r^2 (4 - r^2) , dr = integral0^2 (4r^2 - r^4) , dr = ( 4r^33 - r^55 )0^2
Calculando:
4(2)^33 - (2)^55 = 323 - 325 = 160 - 9615 = 6415

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 6415 , dtheta = 6415 cdot 2pi = 128pi15

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac128,pi15.

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