Calcule: ; onde é o sólido limitado pelo parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado pelo paraboloide e pelo plano . Vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas cilíndricas para facilitar essa integração, já que a expressão sugere a utilização dessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . O paraboloide é uma superfície que se abre para cima, e o plano é uma superfície plana horizontal. A interseção dessas duas superfícies nos dá o limite superior do nosso sólido . Para visualizar, imagine um “tampão” plano cortando o paraboloide.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações:
E o elemento de volume vira:
dV = r , dr , dtheta , dy
Além disso, raizx^2 + z^2 simplifica para r nessas coordenadas.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para r, theta e y.
theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
r varia de 0 até onde o paraboloide atinge o plano y = 4. Como y = r^2 no paraboloide, quando y = 4, temos r = raiz4 = 2.
y varia de y = r^2 (o paraboloide) até y = 4 (o plano).
Passo 5
Com os limites definidos, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW raizx^2+z^2 , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r cdot r , dy , dr , dtheta
Aqui, r cdot r = r^2 vem de raizx^2+z^2 = r e do elemento de volume dV = r , dr , dtheta , dy.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r^2 , dy , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a y:
integralr^2^4 r^2 , dy = r^2 (4 - r^2)
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 r^2 (4 - r^2) , dr , dtheta
Passo 7
Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 r^2 (4 - r^2) , dr = integral0^2 (4r^2 - r^4) , dr = ( 4r^33 - r^55 )0^2