A energia armazenada em um capacitor é proporcional à área sob a curva de tensão V(t) = 10 e^(-t) no intervalo de t = 0 a t = 2. Determine a energia total armazenada. Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre energia armazenada em um capacitor. A questão nos diz que a energia é proporcional à área sob a curva da tensão no intervalo de a . Para resolver isso, precisamos entender conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar a área sob uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa a tensão no capacitor: . Essa função descreve como a tensão varia ao longo do tempo.

Passo 3

Como a energia é proporcional à área sob a curva de , precisamos calcular a integral dessa função no intervalo de a . A integral nos dará a área total sob a curva, que está relacionada à energia armazenada.

Passo 4

Vamos calcular a integral de de a :
Á

Passo 5

Resolveremos a integral:
Aqui, é a constante de integração que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Á

Passo 7

Simplificando a expressão:
Á

Passo 8

Calculando o valor numérico de :
Então,
Á

Passo 9

Portanto, a energia total armazenada no capacitor é aproximadamente 8,647 unidades de energia (dependendo das unidades usadas na tensão e no tempo).

Passo 10

Agora, vamos esboçar o gráfico da função . A curva é uma exponencial decrescente que começa em e se aproxima de 0 conforme aumenta.

Resposta

A energia total armazenada no capacitor é aproximadamente 8,647 unidades de energia. O gráfico da função é uma curva exponencial decrescente que inicia em 10 quando e tende a 0 conforme aumenta.

Gráfico da Função

Gráfico da Função V(t) = 10e^{-t}
Observação: Imagine um gráfico onde o eixo horizontal representa o tempo e o eixo vertical representa a tensão . A curva começa no ponto (0,10) e decresce exponencialmente em direção ao eixo horizontal.

Exercícios relacionados

As integrais abaixo não podem ser calculadas extamente, em termos de funções elementares, com a ordem da integração dada. Inverta a ordem da integração e faça os cálculos.
integral0^raizpi / 2 integralx^raizpi / 2 tan (y^2) d y d x.
integral 5 x+7(x^2+4)(x-1) d x
Calcule: integral triplaW raizx^2+z^2 d V; onde W é o sólido limitado pelo parabolóide
y=x^2+z^2 e o plano y=4
Calcule a área entre as curvas y = e^x e y = x + 2 no intervalo de x = 0 a x = 2. Esboce o gráfico da região entre as duas curvas.