integral x^2+2 x+1(x^2-1)(x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . A gente vai usar frações parciais, que é uma técnica de matemática para quebrar frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Vamos precisar identificar os denominadores e encontrar constantes que nos ajudem a simplificar essa fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que (x - 1)(x + 1)(x + 5) é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Então, o denominador inteiro fica:

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração original como uma soma de frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
x^2+2x+1(x - 1)(x + 1)(x + 5) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + 5
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar x^2+2x+1 = A(x + 1)(x + 5) + B(x - 1)(x + 5) + C(x - 1)(x + 1) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
A(x + 1)(x + 5) = A(x^2 + 6x + 5)
B(x - 1)(x + 5) = B(x^2 + 4x - 5)
C(x - 1)(x + 1) = C(x^2 - 1)
Então, somando tudo:
x^2+2x+1 = A(x^2 + 6x + 5) + B(x^2 + 4x - 5) + C(x^2 - 1)

Passo 6

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x^2+2x+1 = (A + B + C)x^2 + (6A + 4B)x + (5A - 5B - C)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações comparando os coeficientes:
A + B + C = 1 6A + 4B = 2 5A - 5B - C = 1

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
6A + 4B = 2 Rightarrow 3A + 2B = 1 (dividindo tudo por 2)
Agora, temos:
A + B + C = 1 3A + 2B = 1 5A - 5B - C = 1
Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar C = 1 - A - B da primeira equação:
5A - 5B - (1 - A - B) = 1 5A - 5B -1 + A + B = 1 6A -4B = 2 Rightarrow 3A -2B =1
Substituindo na terceira equação:
3A + 2B = 1 3A - 2B =1
Agora, da segunda e da nova equação:
6A = 2 Rightarrow A = 26 = 13
Somando as duas:
3(13) + 2B = 1 1 + 2B = 1 Rightarrow 2B = 0 Rightarrow B = 0
Substituindo C = 1 - 13 - 0 = 23 na segunda equação:
Agora, substituindo e na equação para :

Passo 8

Agora que temos x^2+2x+1(x - 1)(x + 1)(x + 5) = 13x - 1 + 0x + 1 + 23x + 5 = 13(x - 1) + 23(x + 5) , e , podemos escrever a fração original como:

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral x^2+2x+1(x^2-1)(x+5) , dx = integral 13(x - 1) , dx + integral 23(x + 5) , dx
As integrais de = 13 ln|x - 1| + 23 ln|x + 5| + C são logaritmos naturais, então:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^2+2x+1(x^2-1)(x+5) , dx = 13 ln|x - 1| + 23 ln|x + 5| + C

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