Calcule a área delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área delimitada pelas curvas , e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e determinar quais delas estão por cima ou por baixo em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa resolver as equações duas a duas.
Interseção entre e :
Igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja :
Resolvendo a equação quadrática:
Como não pode ser negativo, descartamos . Então,
Interseção entre e :
Igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, precisamos entender como as curvas se posicionam umas em relação às outras nesses intervalos.
Vamos considerar o intervalo positivo (o negativo será simétrico).
Para :
  • está acima de .
  • está acima de .
Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a curva de cima e a de baixo em cada intervalo.

Passo 4

Vamos dividir a integração em dois intervalos:
  1. De a :
    • A curva de cima é .
    • A curva de baixo é .
  2. De a :
    • Devido à simetria, a área será a mesma do intervalo positivo.
Então, vamos calcular a área no intervalo positivo e multiplicar por 2.

Passo 5

A integral para a área no intervalo positivo é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, separamos a integral:
Calculamos cada parte:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
Calculando cada parte:

Passo 8

Agora, substituímos de volta:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Classifique a integral .
Classifique a integral .
Classifique a integral .
Classifique a integral .