Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área delimitada pelas curvas , e . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção dessas curvas e determinar quais delas estão por cima ou por baixo em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam. Isso significa resolver as equações duas a duas.
Interseção entre e :
Igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja :
Resolvendo a equação quadrática:
Como não pode ser negativo, descartamos . Então,
Interseção entre e :
Igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 3
Agora, precisamos entender como as curvas se posicionam umas em relação às outras nesses intervalos.
Vamos considerar o intervalo positivo (o negativo será simétrico).
Para :
está acima de .
está acima de .
Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre a curva de cima e a de baixo em cada intervalo.
Passo 4
Vamos dividir a integração em dois intervalos:
De a :
A curva de cima é .
A curva de baixo é .
De a :
Devido à simetria, a área será a mesma do intervalo positivo.
Então, vamos calcular a área no intervalo positivo e multiplicar por 2.
Passo 5
A integral para a área no intervalo positivo é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, separamos a integral:
Calculamos cada parte:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração:
Calculando cada parte:
Passo 8
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é unidades de área.