Classifique a integral integral1^+infty ln (x^-1)x^2 d x.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma integral para classificar: . O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é cálculo integral, especificamente integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar entender como funciona a convergência dessas integrais e aplicar alguns testes pra ver se a integral dá um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral1^+infty ln (x^-1)x^2 dx = -integral1^+infty ln xx^2 dx é o mesmo que . Então, substituindo isso na integral, temos:
Agora, nossa tarefa é analisar essa nova integral: .

Passo 3

Vamos focar na integral . Para determinar se essa integral converge, podemos usar o Teste de Convergência por Cauchy ou observar que, à medida que vai para o infinito, diminui bastante rápido, já que cresce muito mais rápido que .

Passo 4

Outra forma é aplicar a Integração por Partes, que é uma técnica útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher du = 1x dx e v = -1x e integral ln xx^2 dx = -ln xx + integral 1x^2 dx = -ln xx - 1x + C . Assim, precisamos calcular e :
Agora, aplicando a fórmula:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos avaliar o limite dessa antiderivada quando [ -ln xx - 1x ]1^+infty vai de 1 até :
Vamos calcular os limites separadamente:
  • Quando :
    • porque cresce mais rápido que .
  • Quando :
    • , então

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
[ -ln xx - 1x ]1^+infty = (0 + 0) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1
Lembrando que retornamos ao começo onde tínhamos um sinal negativo fora da integral, então:
- integral1^+infty ln xx^2 dx = -1

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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