Classifique a integral
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma integral para classificar:
. O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é cálculo integral, especificamente integrais impróprias porque o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar entender como funciona a convergência dessas integrais e aplicar alguns testes pra ver se a integral dá um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, substituindo isso na integral, temos:
Agora, nossa tarefa é analisar essa nova integral:
.
Passo 3
Vamos focar na integral
. Para determinar se essa integral converge, podemos usar o Teste de Convergência por Cauchy ou observar que, à medida que
vai para o infinito,
diminui bastante rápido, já que
cresce muito mais rápido que
.
Passo 4
Outra forma é aplicar a Integração por Partes, que é uma técnica útil para integrais que envolvem o produto de duas funções. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos calcular
e
:
Agora, aplicando a fórmula:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos avaliar o limite dessa antiderivada quando
vai de 1 até
:
Vamos calcular os limites separadamente:
- Quando
: -
porque cresce mais rápido que . -
-
- Quando
: -
, então -
-
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão:
Lembrando que retornamos ao começo onde tínhamos um sinal negativo fora da integral, então:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
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Classifique a integral
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Classifique a integral
.
Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.