Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral1^infty d xx^2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral imprópria no intervalo de 1 até o infinito para a função . Isso envolve entender como integrar funções em intervalos infinitos e verificar se a integral converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa, onde o limite superior é o infinito, a gente resolve transformando o infinito em um limite. Então, ao invés de limb to infty integral1^b dxx^2 , a gente escreve como:
Isso ajuda a gente a trabalhar com limites finitos durante os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1) . Sabemos que integral x^-2 dx = x^-2+1-2+1 + C = x^-1-1 + C = -1x + C pode ser escrita como , e a regra de integração para potências de x é:
Nesse caso, , então:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 1 a b, temos:
integral1^b dxx^2 = [ -1x ]1^b = ( -1b ) - ( -11 ) = -1b + 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limb to infty ( -1b + 1 ) = 0 + 1 = 1 tende ao infinito:
Isso porque tende a 0 quando cresce sem limite.

Resposta

A integral imprópria converge e o valor dela é 1.

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