Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral imprópria no intervalo de 1 até o infinito para a função
. Isso envolve entender como integrar funções em intervalos infinitos e verificar se a integral converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa, onde o limite superior é o infinito, a gente resolve transformando o infinito em um limite. Então, ao invés de
, a gente escreve como:
Isso ajuda a gente a trabalhar com limites finitos durante os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. Sabemos que
pode ser escrita como
, e a regra de integração para potências de x é:
Nesse caso,
, então:
Passo 4
Aplicando os limites de integração de 1 a b, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque
tende a 0 quando
cresce sem limite.
Resposta
A integral imprópria
converge e o valor dela é 1.
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Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
;
Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
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Calcule a área delimitada pelas curvas
e
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