Calcule a área delimitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área delimitada pelas curvas , e . A gente vai precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integração, para encontrar essa área. Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para saber entre quais valores de vamos integrar. Vamos resolver os sistemas de equações entre cada par de curvas.
1. Interseção entre e :
Substituindo na primeira equação:
Essa equação pode ser resolvida numericamente, mas para simplificar, vamos tentar valores:
  • Quando :
    Então, um ponto de interseção é .
2. Interseção entre e :
Subtraindo as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, o segundo ponto de interseção é .
3. Interseção entre e :
Substituindo na segunda equação:
Novamente, resolvendo numericamente:
  • Quando : e , então funciona.
    Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção , e , vamos esboçar as curvas para entender melhor como a área está delimitada.
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma reta decrescente.
  • é uma reta crescente.
Observando os pontos de interseção, podemos ver que a área está formada entre e , envolvendo as curvas mencionadas.

Passo 4

Para calcular a área, vamos dividir em duas partes devido às diferentes posições das curvas:
  1. De a :
    • A curva superior é
    • A curva inferior é
  2. De a :
    • A curva superior é
    • A curva inferior é
A área total será a soma das áreas dessas duas regiões.

Passo 5

Vamos integrar a diferença entre as curvas superiores e inferiores em cada intervalo:
  1. De a :
Á
  1. De a :
Á
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 6

Calculando Á:
Á
Calculando term por term:
Então,
Á
Calculando Á:
Á
Calculando term por term:
Então,
Á

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas calculadas:
ÁÁÁ

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades de área.

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e , em torno do eixo ;
Classifique a integral .