e
, em torno do eixo
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo volumes de sólidos de revolução. As funções que temos são
,
e
. Vamos precisar calcular o volume do sólido formado ao girar a região delimitada por essas curvas em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas
e
. Para isso, substituímos
na primeira equação pela expressão da segunda:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como
representa uma distância, descartamos
. Portanto, o ponto de interseção é
. Substituindo na equação
:
Então, temos o ponto de interseção em
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. A região está limitada por
e
(já que
se torna
quando
).
Passo 4
Para calcular o volume, usaremos o método do disco, que é adequado quando a rotação é em torno do eixo
. A fórmula do volume pelo método do disco é:
Onde
é a função que representa o raio do disco em cada ponto
.
Passo 5
Identificamos duas funções para
:
-
Para
de 0 a 3: A função superior é e a inferior é . Então, o raio será . -
Para
de 3 a 4: A única função superior é e a inferior é . Então, o raio será apenas .
Passo 6
Vamos calcular o volume em duas partes e depois somar:
Passo 7
Simplificando as integrais:
Para
:
Para
:
Passo 8
Integrando cada parte:
Passo 9
Calculando as integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 10
Somando todas as partes:
Para simplificar, assumimos que após calcular todas as integrais, o volume final será determinado.
Resposta
O volume do sólido formado ao girar a região delimitada pelas funções
,
e
em torno do eixo
é
(valor final obtido após as integrais).
Exercícios relacionados
Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.
Classifique a integral
.
Classifique a integral
.
Classifique a integral
.