Classifique a integral integral0^pi cos xraiz1-sin x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Sabemos que:
1 - sin x = (1 - sin x)
Podemos usar a identidade trigonométrica:
1 - sin x = 1 - sin x1 + sin x cdot (1 + sin x) = 1 - sin^2 x1 + sin x = cos^2 x1 + sin x
Portanto,
raiz1 - sin x = cos xraiz1 + sin x
Agora, substituindo na integral original:
integral0^pi cos xraiz1-sin x , dx = integral0^pi cos xcos xraiz1 + sin x , dx = integral0^pi raiz1 + sin x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral u = 1 + sin x . Para isso, usamos a substituição trigonométrica. Seja:
du = cos x , dx
Então, a derivada de integral raizu cdot ducos x em relação a é:
No nosso caso, como a integral está em termos de , precisamos ajustar nossa substituição. Vamos reescrever a integral:
Mas isso pode complicar as coisas. Em vez disso, observe que a função é simétrica no intervalo de a . Além disso, notamos que é positiva de a e negativa de a .

Passo 4

Devido à simetria e ao comportamento de , a área sob a curva de a será positiva, e de a será negativa. Porém, como estamos integrando uma função que é simétrica e a soma dessas áreas será zero.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
integral0^pi cos xraiz1-sin x , dx = 0

Resposta

O valor da integral é .

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