Classifique a integral integral-infty^pi2 sin (2 x) d x.

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para classificar a integral . Isso envolve o estudo de integrais impróprias, pois um dos limites da integração é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com integrais definidas com limites infinitos e verificar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite infinito. Vamos substituir o limite inferior integral-infty^pi2 sin (2 x) , dx = lima to -infty integrala^pi2 sin (2 x) , dx por uma variável que tende a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral sin(2x) , dx = -cos(2x)2 + C . Sabemos que:
integrala^pi2 sin (2 x) , dx = [ -cos(2x)2 ]a^pi2 = -cos(pi)2 + cos(2a)2
Onde é a constante de integração. Então, aplicando os limites de integração:

Passo 4

Simplificando os valores:
-cos(pi)2 = --12 = 12
E temos:
cos(2a)2
Agora, vamos analisar o limite quando lima to -infty cos(2a)2 tende a :

Passo 5

A função oscila entre e para todos os valores de . Isso significa que oscila entre e . Portanto, o limite não existe porque não se aproxima de nenhum valor específico à medida que vai para .

Passo 6

Como o limite não existe, concluímos que a integral:
integral-infty^pi2 sin (2 x) , dx
não converge.

Resposta

A integral diverge.

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