Calcule a área delimitada pela função no intervalo , justificando todas as suas passagens.
Passo 1
Vamos calcular a área sob a curva da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que serve para encontrar áreas entre uma função e o eixo dentro de certos limites.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a integral definida que representa essa área. A fórmula geral para a área sob uma curva de até é:
No nosso caso, , e . Então:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Seja , então e derivando ambos os lados, temos .
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração . Podemos reescrever isso como: