Calcule a área delimitada pela função f(x) = 1 / (1 + raiz(x)) no intervalo [0, 4], justificando todas as suas passagens.

Passo 1

Vamos calcular a área sob a curva da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integrais definidas, que serve para encontrar áreas entre uma função e o eixo dentro de certos limites.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a integral definida que representa essa área. A fórmula geral para a área sob uma curva de até é:
No nosso caso, , e . Então:

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Seja , então e derivando ambos os lados, temos .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração . Podemos reescrever isso como:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área delimitada pela função é unidades de área.

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