Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens. (1,5 pt) integral x+2x^2+4 d x

Passo 1

Então, a gente tem a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração de funções racionais, que envolve dividir o numerador pelo denominador ou usar substituição. Vamos precisar separar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fração x+2x^2+4 = xx^2+4 + 2x^2+4 de uma forma que seja mais fácil de integrar. Podemos separar em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo integral xx^2+4 , dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C1 = 12 ln(x^2+4) + C1 , usamos a substituição. Seja , então , ou seja, .
A integral fica:

Passo 4

Para o segundo termo integral 2x^2+4 , dx = 2 cdot 12 tan^-1(x2) + C2 = tan^-1(x2) + C2 , reconhecemos a forma da integral de uma função do tipo , cuja antiderivada é .
Aqui, então . Então,

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais:
integral x+2x^2+4 , dx = 12 ln(x^2+4) + tan^-1(x2) + C

Resposta

A solução da integral é:
12 ln(x^2+4) + tan^-1(x2) + C

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