Determine as integrais a seguir, usando o Teorema Fundamental do Cálculo: integral1^4(4-3 t+5 t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é do tipo definida: integral1^4(4 - 3t + 5t^2) dt. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos saber como encontrar a antiderivada (ou primitiva) da função dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função 4 - 3t + 5t^2. A antiderivada é uma função cuja derivada nos dá de volta a função original.
  • Para o termo constante 4, a antiderivada é 4t.
  • Para o termo -3t, a antiderivada é -32t^2.
  • Para o termo 5t^2, a antiderivada é 53t^3.
Então, a antiderivada completa da função é:
F(t) = 4t - 32t^2 + 53t^3

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair os resultados. Ou seja:
integral1^4(4 - 3t + 5t^2) dt = F(4) - F(1)

Passo 4

Vamos calcular F(4):
F(4) = 4(4) - 32(4)^2 + 53(4)^3
F(4) = 16 - 32 times 16 + 53 times 64
F(4) = 16 - 24 + 3203
F(4) = -8 + 3203
F(4) = -243 + 3203
F(4) = 2963

Passo 5

Agora, vamos calcular F(1):
F(1) = 4(1) - 32(1)^2 + 53(1)^3
F(1) = 4 - 32 + 53
Para somar esses termos, precisamos de um denominador comum, que é 6:
F(1) = 246 - 96 + 106
F(1) = 256

Resposta

Subtraindo F(1) de F(4):
integral1^4(4 - 3t + 5t^2) dt = 2963 - 256
= 5926 - 256
= 5676
= 94,5
Portanto, o valor da integral é 94,5.

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