Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens. (1,5 pt) integral x raiz3+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar escolher uma parte da integral para substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão. Observando a integral, temos a expressão u = 3 + 2x dentro da raiz. Vamos definir:
Isso vai ajudar a simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2 em relação a dx = du2 para substituir :
Isso significa que:

Passo 4

Precisamos também expressar u = 3 + 2x em termos de 2x = u - 3 . Da substituição x = u - 32 , podemos resolver para :

Passo 5

Agora, substituímos integral x raiz3 + 2x , dx = integral ( u - 32 ) raizu cdot du2 e = 14 integral (u - 3) raizu , du na integral original:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
= 14 integral (u^1 cdot u^1/2 - 3u^1/2) , du
= 14 integral (u^3/2 - 3u^1/2) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral u^3/2 , du = u^5/252 = 25 u^5/2
integral 3u^1/2 , du = 3 cdot u^3/232 = 2u^3/2
Então:
14 ( 25 u^5/2 - 2u^3/2 ) + C
= 110 u^5/2 - 12 u^3/2 + C

Passo 8

Finalmente, voltamos à variável original substituindo = 110 (3 + 2x)^5/2 - 12 (3 + 2x)^3/2 + C :

Resposta

A integral 110 (3 + 2x)^5/2 - 12 (3 + 2x)^3/2 + C é igual a:

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