Calcule dd x integralx^2^1 sen(t^2) d t, justificando todas as suas passagens.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a pergunta está pedindo é para calcular a derivada em relação a da integral de de até 1. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial e integral, especificamente com a regra de diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz que, se temos uma integral com limites que dependem de , a derivada dessa integral é igual à função avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

No nosso caso, a integral é . Aqui, o limite inferior é e o limite superior é 1, que é constante (não depende de ).

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz:
ddx integralx^2^1 sin(t^2) , dt = sin(1^2) cdot ddx(1) - sin((x^2)^2) cdot ddx(x^2)
Como o limite superior é constante, a primeira parte da expressão será zero porque a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Simplificando:
ddx integralx^2^1 sin(t^2) , dt = 0 - sin(x^4) cdot 2x = -2x sin(x^4)

Resposta

A derivada é .

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