Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
(b) curva
, eixo
e a reta
;
(b) curva
Passo 1
Vamos calcular a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A curva
cruza o eixo
quando
, ou seja, quando
. Assim, os limites de
vão de 1 até
.
Passo 3
A área
desejada pode ser encontrada integrando a função
em relação a
no intervalo de 1 a
. A integral que representa essa área é:
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos
e
. Então, calculamos
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A área da região limitada é igual a
unidade quadrada.
Exercícios relacionados
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(d) curva
, eixo ox e
;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(j) ;
(j)
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
11)
11)
Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(a) parábola
e o eixo ox;