Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
(b) curva , eixo e a reta ;

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A curva cruza o eixo quando , ou seja, quando . Assim, os limites de vão de 1 até .

Passo 3

A área desejada pode ser encontrada integrando a função em relação a no intervalo de 1 a . A integral que representa essa área é:

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos e . Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :
Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Resposta

A área da região limitada é igual a unidade quadrada.

Exercícios relacionados

Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(d) curva , eixo ox e ;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(j) ;
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
11)
Considere os resultados abaixo:
  • O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo é
  • O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo oy é
  • A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo oy é
  • A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(a) parábola e o eixo ox;