Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
(b) curva y = ln(x), eixo o x e a reta x = e;

Passo 1

Vamos calcular a área da região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A curva cruza o eixo quando , ou seja, quando . Assim, os limites de vão de 1 até .

Passo 3

A área desejada pode ser encontrada integrando a função em relação a no intervalo de 1 a . A integral que representa essa área é:

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos e . Então, calculamos e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :
Sabemos que e . Substituindo esses valores:

Resposta

A área da região limitada é igual a unidade quadrada.

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