Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo
é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(a) parábola
e o eixo ox;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície gerada quando a parábola
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais envolvendo áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta o eixo
. Isso acontece quando
:
Então, nossos limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Como a curva vai girar em torno do eixo
, usamos a fórmula da área da superfície de revolução em torno do eixo
:
Aqui,
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos aproximá-la numericamente utilizando a regra de Simpson com
subdivisões. Calculando os valores da função dentro da integral em pontos específicos e aplicando a fórmula, obtemos uma aproximação para a integral:
Resposta
A área da superfície gerada é aproximadamente
unidades de área.