Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo o x é
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(a) parábola y=4 x-x^2 e o eixo ox;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície gerada quando a parábola é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais envolvendo áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta o eixo 4x - x^2 = 0 implies x(4 - x) = 0 implies x = 0 ou x = 4 . Isso acontece quando :
Então, nossos limites de integração serão de a .

Passo 3

Como a curva vai girar em torno do eixo S = integrala^b 2pi f(x) raiz1 + [f'(x)]^2 , dx , usamos a fórmula da área da superfície de revolução em torno do eixo :
Aqui, .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f'(x) = ddx(4x - x^2) = 4 - 2x :
S = 2pi integral0^4 (4x - x^2) raiz1 + (4 - 2x)^2 , dx
Agora, substituímos na fórmula:
1 + (4 - 2x)^2 = 1 + 16 - 16x + 4x^2 = 17 - 16x + 4x^2
Simplificando a expressão dentro da raiz:
S = 2pi integral0^4 (4x - x^2) raiz4x^2 - 16x + 17 , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos aproximá-la numericamente utilizando a regra de Simpson com integral0^4 (4x - x^2) raiz4x^2 - 16x + 17 , dx approx 20.2565 subdivisões. Calculando os valores da função dentro da integral em pontos específicos e aplicando a fórmula, obtemos uma aproximação para a integral:

Resposta

A área da superfície gerada é aproximadamente unidades de área.

Exercícios relacionados