Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
11)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular
. Esse tipo de problema está na matéria de cálculo integral, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral e usar algumas fórmulas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração, que é
. Note que podemos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Observe que:
Isso significa que:
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes mais simples:
Passo 3
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
é uma das integrais básicas que você provavelmente já viu:
Aqui,
é a função arco-tangente, que é o inverso da tangente.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral:
. Essa integral é um pouco mais complicada, mas temos uma fórmula padrão para resolver:
Essa fórmula pode ser derivada usando substituição trigonométrica ou técnicas de integração por partes, mas para simplificar, vamos usar a fórmula diretamente.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Simplificando isso:
Resposta
A integral vale
.