Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
11) integral x^2 d x(x^2+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular integral x^2 dx(x^2+1)^2. Esse tipo de problema está na matéria de cálculo integral, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral e usar algumas fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração, que é x^2. Note que podemos reescrever x^2 de uma forma que facilite a integração. Observe que:
x^2 = (x^2 + 1) - 1
Isso significa que:
x^2(x^2+1)^2 = (x^2+1) - 1(x^2+1)^2 = 1x^2+1 - 1(x^2+1)^2
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes mais simples:
integral x^2 dx(x^2+1)^2 = integral ( 1x^2+1 - 1(x^2+1)^2 ) dx

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de 1x^2+1 é uma das integrais básicas que você provavelmente já viu:
integral 1x^2+1 dx = arctan x + C
Aqui, arctan x é a função arco-tangente, que é o inverso da tangente.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: integral 1(x^2+1)^2 dx. Essa integral é um pouco mais complicada, mas temos uma fórmula padrão para resolver:
integral 1(x^2+1)^2 dx = 12 arctan x + x2(x^2+1) + C
Essa fórmula pode ser derivada usando substituição trigonométrica ou técnicas de integração por partes, mas para simplificar, vamos usar a fórmula diretamente.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
integral x^2 dx(x^2+1)^2 = ( arctan x ) - ( 12 arctan x + x2(x^2+1) ) + C
Simplificando isso:
= arctan x - 12 arctan x - x2(x^2+1) + C
= 12 arctan x - x2(x^2+1) + C

Resposta

A integral vale 12 arctan x - x2(x^2+1) + C.

Exercícios relacionados