Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
11)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular . Esse tipo de problema está na matéria de cálculo integral, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar a integral e usar algumas fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração, que é . Note que podemos reescrever de uma forma que facilite a integração. Observe que:
Isso significa que:
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes mais simples:

Passo 3

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de é uma das integrais básicas que você provavelmente já viu:
Aqui, é a função arco-tangente, que é o inverso da tangente.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: . Essa integral é um pouco mais complicada, mas temos uma fórmula padrão para resolver:
Essa fórmula pode ser derivada usando substituição trigonométrica ou técnicas de integração por partes, mas para simplificar, vamos usar a fórmula diretamente.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Simplificando isso:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
(b) curva , eixo e a reta ;
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(d) curva , eixo ox e ;
Considere os resultados abaixo:
  • O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo é
  • O volume do sólido gerado pela rotação de uma região em torno do eixo oy é
  • A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo oy é
  • A área da superfície gerada pela revolução da curva dada por entre e em torno do eixo é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superf(a) parábola e o eixo ox;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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