Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(j) integral arcsin xx^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de Cálculo Integral, mais especificamente utilizando o método de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Integração por Partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções e é baseada na regra do produto da derivada. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar partes da nossa integral que serão e .

Passo 3

Vamos escolher u = arcsin x implies du = 1raiz1 - x^2 , dx e dv = 1x^2 , dx implies v = -1x . Agora, precisamos encontrar e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Integração por Partes:
integral arcsin xx^2 , dx = uv - integral v , du
Substituindo = arcsin x ( -1x ) - integral ( -1x ) cdot 1raiz1 - x^2 , dx , = -arcsin xx + integral 1x raiz1 - x^2 , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral 1x raiz1 - x^2 , dx = -1raiz1 - x^2 + C . Para isso, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar , mas nesse caso, uma abordagem mais direta é reconhecer que a integral resultará em uma função logarítmica.
Então, a integral se torna:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
-arcsin xx + ( -1raiz1 - x^2 ) + C
Simplificando os sinais:
-arcsin xx - 1raiz1 - x^2 + C

Resposta

Portanto, a integral -arcsin xx - 1raiz1 - x^2 + C é igual a:

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