Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva de Agnesi
e eixo
, para
;
curva de Agnesi
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área limitada pela curva de Agnesi, dada por
, e o eixo
no intervalo de
até
. Vamos usar cálculo integral para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área entre uma curva e o eixo
pode ser encontrada integrando a função
em relação a
no intervalo dado. Então, nossa integral vai ser:
Passo 3
Mas olha só, a função
é simétrica em relação ao eixo
, ou seja, é uma função par. Isso significa que a área de
a
é igual à área de
a
. Então, podemos simplificar a conta fazendo:
Passo 4
Agora, vamos fatorar os termos que são constantes fora da integral para facilitar a resolução:
Passo 5
Aqui, precisamos lembrar da integral básica:
Essa é a fórmula que vamos usar para resolver nossa integral.
Passo 6
Aplicando os limites de integração na fórmula que encontramos:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da figura é
.
Exercícios relacionados
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(b) curva , eixo
e a reta
;
(b) curva
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(h)
(h)