Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(b) curva , eixo e a reta ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução gerados ao girar a região delimitada pela curva , pelo eixo e pela reta em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral que nos ajudam a calcular essas medidas quando rotacionamos curvas em torno de eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A curva intersecta o eixo quando , ou seja, quando . Portanto, a região que vamos girar está entre e .
Passo 3
Vamos calcular o volume do sólido de revolução. Quando giramos uma curva em torno do eixo , usamos a fórmula do método dos discos:
Aqui, , e .
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, podemos usar a integração por partes.
Passo 5
Vamos aplicar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula :
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a parte :
Agora, a integral . Usamos integração por partes novamente:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão do volume:
Passo 8
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. Usamos a fórmula:
Para , temos:
Então:
Passo 9
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Substituindo na integral:
Essa integral é mais complexa e pode ser resolvida por substituição trignométrica ou métodos numéricos, mas para fins deste exercício, vamos deixar a expressão em termos de integral.
Resposta
O volume do sólido de revolução é e a área da superfície de revolução é dada por .